学习近世代数时提炼的大纲，这个在考期整理花费了很多时间，不过考得还不错

近世代数大纲

群

群的定义

群

• 二元运算：设$A$是一个非空集合，$A$上的一个二元运算记为$ab$，称为$a$与$b$的乘积

• 群：设$G$是一个非空集合，且$G$上有一个乘法“$\cdot$”，如果满足乘法封闭，结合律，有幺元，有逆元，则称$G$关于$\cdot$构成一个群，记为$(G,\cdot)$。

  • 交换群（$Abel$群）：对于$\forall a,b\in G$，满足$ab=ba$
  • 群阶：$G$中所含元素的个数，记为$|G|$。
    • 有限群，无限群

• 群元素：由于群元素有结合律，所以可以类比数的运算，定义群的方幂。

  • 群元素的阶：$G$是群，$a\in G$，满足$a^{n}=e$的最小整数$n$，并记为$o(a)$。若$n$不存在，则记$o(a)=0$。【可以替代数论中$\delta_{m}(a)$】
    • 有限群元素的阶必有限；无限群元素的阶可能有限，有可能无限。

• 消去律：群$G$具有左右消去律

  • 有限群的两种定义：
    • 第一定义：乘法封闭|结合律|有幺元|有逆元
    • 第二定义：乘法封闭|结合律|左右消去律

子群

• 子群：$G$是一个群，$H$是$G$的一个非空子集，若$H$关于$G$的乘法也构成一个群，则称$H$为$G$的一个子群，记作$H\leq G$。当$H \neq G$，称$H$为真子群。

  • 所以${e},G$总是$G$的子群，称为平凡子群

• 定理（等价）：

1. $H$是$G$的子群
2. $\forall a,b\in H$，有$ab\in H,b^{-1}\in H$
3. $\forall a,b\in H,$，有$ab^{-1}\in H$（需要验证的工作最少，最常用）

• 判定方法：1. 运用定理 2. 列出乘法表

四元数群（$Hamilton$群）

$I,A=\begin{pmatrix}i & 0\\\\ 0 & -i\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}0 & i\\\\ i & 0\end{pmatrix}$

$H=\lbrace \pm I,\pm A,\pm B,\pm C \rbrace$

性质：四元数的乘法不符合交换律，四元数群是非交换群

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群的变换与置换

• 群的乘法表：可以判断交换律是否成立

变换

• 一一映射/双射:既满射又是单射

  一个从A到A的映射叫做A的一个变换

（为了定义“所有的变换”的集合$S$构成的群）

定义新的运算：对于$\forall \alpha,\beta \in S$，定义 $\alpha\cdot\beta(x)=\alpha(\beta(x))$

• 置换：$X$为有限集合，从$X$到$X$的一一变换叫做置换。$X$上全体双射变换集合记为$T(X)$

• 在$T(X)$中可以引入刚才定义的运算，对于$\forall \alpha,\beta\in T(X)$，定义$\alpha\circ\beta$ 为变换$\alpha$和$\beta$的复合。（不一定满足交换）

• 变换群：在上述定义的$\circ$下，$T(X)$构成的群。
  对应：单位元——恒等变换 逆元——逆变换

• 置换群：$X$为有限集合，$T(X)$构成的变换群。若$|X|=n$，则$T(X)$称为n元对称群。记为$S_{n}$。

  • n元对称群的大小：$n!$

  • 表示记号：$\begin{pmatrix}1 & 2&\cdots \\\\i_{1} &i_{2} & i_{\cdots}\end{pmatrix}$

  • $S_{3}$是一个最小的有限非交换群，6阶

  • 循环置换（轮换）：$(i_{1}i_{2}\cdots i_{r})$轮换，其他元素不动。

    • 性质：
      1. 轮换$\sigma,\tau$不相交(没有公共元素)，则 $\tau\sigma=\sigma\tau$。
      2. $S_{n}$中任一置换均可以唯一的写成不相交的轮换的乘积。

  • 对换：只含有两个元素的置换。

群的同态和同构

• 同态映射：设$G_{1},G_{2}$是两个群（或者只是集合上有运算），若存在$f:G_{1}\rightarrow G_{2}$，对于$\forall a,b \in G_{1}$，有$f(ab)=f(a)f(b)$成立，则$f$称为同态映射。称$G_{1}$在$G_{2}$中的像为$G_{1}$的同态像。

• 同态：若$f$是满射，则$G_{1}$和$G_{2}$同态，记为$G_{1}\sim G_{2}$。

• 同态的性质：

  1. 若$G_{1}\sim G_{2}$，$G_{1}$是群，则$G_{2}$也是一个群。($G_{2}\sim G_{1}$不一定，可见同态是有方向的）

  2. $G_{1}\sim G_{2}$，$G_{1}$的单位元/$a^{-1}$的像是$G_{2}$中对应的单位元和$a$的像的逆元。

• 同构：若$f$是双射，则$G_{1}$和$G_{2}$同构，记为$G_{1}\simeq G_{2}$。
  含义：在某种意义$f$下，这两个群是相同的东西。

• 凯莱定理（$Cayley$定理）：每一个群都和某一个变换群同构。
  含义：每一个抽象的群都可以看成是一个具体的群。
  故：任一有限群都同构于一个置换群。

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循环群

• 定义：由一个群生成的群$\left \langle a\right \rangle=\left\{a^{k}|k\in Z\right\}$。$a$被称为$G$的一个生成元。

• 整数加群：整数加群$Z$的子群都是由某一非负整数$m$生成的循环群，对于$m,n\geq0$，$nZ\subset mZ$，当且仅当$m|n$（注意次序）

• 定理：

  设$G=\left \langle a\right \rangle$

  1. 当$o(a)=m$时，$G=\left\{a^{0},\cdots,a^{m-1}\right\}$——同构于模m的剩余类加群
  2. 当$o(a)=\infty$时，$G=\left\{\cdots,a^{-1},e,a^{1},\cdots\right\}$——同构于整数加群

• 循环群的子群还是循环群（证明方法利用$k=dp+r$）

• 阶数公式：$o(a)=n$ ， $o(a^{r})=\frac{n}{(r,n)}$

  • 可以利用阶数公式证明：设$G$为n阶循环群，$m$是一个正整数，而且$m|n$，则存在唯一一个$G$的m阶循环子群

• 生成元 ：$G=\left \langle a\right \rangle,|G|=n$，则全部生成元为$\left\{a^{k}|(k,n)=1\right\}$，共$\varphi(n)$个。

​ （生成元的阶一定是n）

• 有限循环群的判定条件：$G$为有限交换群，对于所有正整数$m$，在$G$总满足方程$x^{m}=e$的元素个数不超过$m$。

例题：证明$G$为一有限交换群时，必然$G$中存在一个元素，它的阶为G中所有元素阶的倍数。

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子群的陪集分解

• 等价关系$\sim$：自反性，对称性，传递性

  集合的划分：将一个集合分割为若干个不相交的子集合

  等价关系必有对应划分，划分必有其对应等价关系

• 等价类：由等价关系确定的等价类，记为$[a]$，$a$为代表元

• $R_{H}$：$a\sim b$当且仅当$b^{-1}a\in H$

  左陪集：$H$为$G$的子群，$a\in G$，则集合$aH=\left\{ab|b\in H\right\}$称为$a$关于$H$的一个左陪集

  在$R_{H}$下，$[a]=aH$

  • 定理：
  1. $G$是$H$在$G$中所有左陪集的并。
  2. $H$在$G$中的两个左陪集相等或者不相交
  3. $\forall a,b \in G,aH=bH$当且仅当$a\sim b$

  相似的，可以定义$R_{H}'$当且仅当$ab^{-1}\in H$以及右陪集。由于一个群的乘法不一定满足交换律，故两个相等关系不一定相同。

  • 性质：一个子群的左右陪集个数相等。

• 指数：$G$关于$H$左陪集的个数，记作$[G:H]$

  • 对于有限群$[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$
    - 拉格朗日定理：
    1. 一个有限群的子群的阶整除该群的阶
    2. $G$为有限群，则$G$中每个元素的阶都是$G$的因子

  • 指数公式：$H\leq K\leq G$，则$[G:K][K:H]=[G:H]$

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正规子群 群同态

• 左陪集构成的集合：$G/H=\left\{aH|a\in G\right\}$

  引入运算：$aH\cdot bH=abH$。为了使运算成立，则满足$\forall a\in G,aH=Ha$。

正规子群

• 定义：$\forall a\in G,aH=Ha$，称$H$是$G$的正规子群。
  ※：$aH=Ha$是两个集合的相等
  等价定义：

  1. 任意两个左（右）陪集之积还是一左（右）陪集
  2. $\forall a\in G,aHa^{-1}=H$

• 性质：交换群都是正规子群。

• 四种等价（其实还是对定义的进一步理解）：

  1. $N$是$G$的正规子群
  2. $\forall a\in G,n\in N$，有$a^{-1}na\in N$
  3. $\forall a\in G$，有$a^{-1}Na\subseteq N$
  4. $\forall a\in G,a^{-1}Na=N$

• 商群：在$G/N$上定义运算$aH\cdot bH=abH$构成的群

同态的核

• 定义：对于同态$\sigma:G\rightarrow G'$单位元的完全反像$\sigma^{-1}（e'）$称为同态$\sigma$的核。同态$\sigma$的核记为$ker(\sigma)$

• 性质：同态的核是群$G$的正规子群，每一个正规子群都是某一个同态的核。

• 群同态定理：设$\sigma:G\rightarrow G'$是一个满同态，$N$是$\sigma$的核，则$G/N$与$G'$同构。

  ※：自然同态（$f:f(a)=aN$）

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环

环 子环 多项式环

环的定义

• 加群：一个交换群，只不过我们称它的代数运算叫做加法$+$。
  单位元：$0$ 复元：$-a$ 有数乘律

• 环：在集合$R$上定义$+$和$\bullet$两种运算，若$R$满足下列条件：

  1. $R$对$+$是加群
  2. $R$对$\bullet$是封闭
  3. $R$对$\bullet$具有结合律
  4. 满足左右分配律
     则称$R$关于加法和乘法构成一个环，记作$(R,+,\bullet)$

• 特殊的环：

  • $R$的乘法满足交换律，称为交换环

  • $R$的乘法有幺元，称为有单位元的环

  ※：此时在环中有逆元的元素称为可逆元。

  • 若$\exists a,b\in R,a\neq0,b\neq0,ab=0$，称$R$为有零因子环。$a$为左零因子，$b$为右零因子。反之称为无零因子环。

    • 环的消去律成立，则环无零因子

      • 无零因子环的非零元的加法阶都相等——$\infty$或一素数

    • 整环：有单位元的无零因子交换环。
      eg：$n$为合数，$Z_{n}$不是整环；$n$为素数，$Z_{n}$是整环。

  • 除环：$R$为由单位元的环，且每个非零元均为可逆元。（此时就能够左右除了）
    • 除环中所有非零元素构成的集合在乘法下构成一个群
    • 除环是无零因子环
  • 域：交换的除环。
    eg：数域（有理数/实数/复数）

• 特征：无零因子环$R$的加法群的非零元的阶$CharR=\left\{\begin{matrix} 0&&加法阶为\infty\\ R&&加法阶为素数R\end{matrix}\right.$

子环

• 子环/子除环/子整环/子域：环/除环/整环/域的子集，若子集保持父集的运算

• 子环的判定：$S$是环$R$的非空子集，则$S$是$R$的子环的除非必要条件为：$\forall a,b\in S,a-b\in S,ab\in S$

• 子除环的判定：$S$是环$R$的非空子集，则$S$是$R$的子环的除非必要条件为：

  1. $S$包含一个不等于零的元
  2. $\forall a,b\in S$
  3. $\forall a,b\in S,b\neq0,ab^{-1}\in S$

环同态

• 环同态映射：设$R,R'$是两个环，若存在$f:R\rightarrow R'$，对于$\forall a,b \in R$，有$f(ab)=f(a)f(b),f(a+b)=f(a)+f(b)$成立，则$f$称为环同态映射。

• 环同构：当$f$为双射时称为同构。

• 环同态的性质：

  1. 零元映射到零元，负元映射到负元。
  2. 零因子不一定是同态像的零因子

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理想

• 定义：设$(R,+,\cdot)$是环，$I$是$R$的一个子环，如果对$\forall a\in I，r\in R$，均有$ra\in I,ar\in I$，则称$I$是$R$的一个理想。

• 平凡理想：${0}$和$R$。
  ※：除环只有两个平凡理想

• 主理想：由$R$中一个元素$a$生成的理想称为主理想，记为$(a)$，则$(a)=\left\{\sum x_{i}ay_{i}+sa+at+na|x_{i},y_{i},s,t\in R,n\in Z\right\}$（$\sum$是有限和）

  • $R$是交换环时，$(a)=\left\{sa+at|s,t\in R\right\}$

  • $R$是有单位元的环时，$(a)=\left\{\sum x_{i}ay_{i}|x_{i},y_{i}\in R\right\}$

  • $R$是有单位元的交换环时，$(a)=\left\{ra|r\in R\right\}$

• 定理：整数环$Z$中任一理想都是主理想。（仿照$k=rq+r$的证明）

• 商环：在加法商群$R/I$上定义乘法$(x+I)+(y+I)=(x+y)+I,(x+I)(y+I)=(xy)+I$，则得到$R/I$构成的环。

• 环同态基本定理：设$f:R\rightarrow R'$是一个满同态，则$f$的核是$R$的理想，则$G/Ker(f)$与$G'$同构。

  ※：自然同态（$f:f(a)=a+I$）

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多项式

• p元伽罗瓦域：设素数$p$，设$F_{p}=\left\{0,1,\cdots,p-1\right\}$为整数集，设$f:Z/(p)\rightarrow F_{p}$定义为$f([a])=a$对$a=0,1,\cdots,p-1$。则$F_{p}$在$f$的诱导下称为一个域，即p元伽罗瓦域。

• $F[x]$中任一理想都是主理想，其形式为$g(x)+(f(x))$，其中$g(x)$的最高项次数不高于$degf(x)$

两种特殊的理想：

• 素理想：设$P$是环$R$的一个理想，若$\forall a,b\in R且$$ab\in P$，都有$a\in P$或者$b\in P$，则$P$是素理想。
  eg：整数环中，素数$p$生成的理想

• 极大理想：一个环$R$的一个不等于$R$的理想$I$，除了$R$和$I$以外没有包含$I$的理想。

  eg：整数环中，素数$p$生成的理想

  • 定理：有单位元的交换环必有极大理想。
  • 有单位元的交换环的极大理想必是素理想

• 重要定理：设$R$是有单位元的交换环，$I$是其理想

  1. 若$I$是素理想，则$R/I$ 是一个整环；
  2. 若$I$是极大理想，则$R/I$ 是一个域。（这样，我们就能够构造域了）
     （充分必要）

多项式的性质

• 可约多项式：设$f(x)\in F[x]$，$f(x)$可以写成$f(x)=g(x)h(x)$。
• 利用不可约多项式构造域：设$F[x]$是域$F$上一个一元多项式环，$f(x)\in F[x]$是一个次数不大于零的不可约多项式，则$(f(x))$是$F[x]$的极大理想，从而$F[x]/(f(x))$是一个域。
• 根：令多项式的值等于0的自变量取值。
  • 推论：
    1. $f(x)\in F[x]$，则c是$f(x)$的根当且仅当$(x-c)|f(x)$。
    2. c是$f(x)$的$r$重根，则c是$f'(x)$的$r-1$重根。
    3. 若$(f(x),f'(x))=1$，则$f(x)$没有重根。
    4. n次多项式$f(x)\in F[x]$不同根$c\in F$的个数最多为n。
    5. $f(x),g(x)\in F[x]$,若有$n+1$个元素$c_{i}$，使得f(c_{i})=g(c_{i})，则$f(x)=g(x)$。
    6. $Lagrange$插值公式：给出$n+1$个$a_{i},b_{i}$，存在一个次数不超过n的多项式$f(x)$满足$f(a_{1})=b_{i}$。此时$f(x)=\sum^{n}_{i=0}b_{i}\prod^{n}_{k=0,k\neq i}(a_{i}-a{k})^{-1}(x-a_{k})$
    7. 设$f(x)\in Z[x]$，$f(x)$可以写成$f(x)=g(x)h(x)$，$g(x)，h(x)\in Q[x]$，则存在有理数$r$，使得$rg(x),\frac{1}{r}h(x)\in Z[x]$
    8. $Eisenstein$判别法：设$f(x)=a_{0}+\cdots+a_{n}x^{n}\in Z[x]$，$p$为一个素数。若满足：
       • $p\nmid a_{n}$
       • $p|a_{i},i=0,1,\cdots,n-1$
       • $p^{n}\nmid c_{0}$
         则$f(x)$在$Z[x]$上不可约。（从而在Q[x]上也不可约）
• 有限域上不可约多项式的判定方法:
  1. 定义
  2. 三次不可约多项式必然没有一次因式/四次不可约多项式必然没有一次因式和二次因式/六次不可约多项式必然没有一次因式、二次因式和三次因式

基于多项式的密钥共享

过程：$t$个门限，$n$个共享者。选取 $t-1$ 次多项式$f(x)$，$x_{i}(i=1,\dots,n)$ 计算 $f(x_{i})$，然后将 $(x_{i},f(x_{i}))$ 分发给共享者。任意 $t$ 个子密钥即可重构出主密钥。

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域

素域 单扩张

• 从环构造域：1. 找有单位元的交换环的极大理想 2. 给定环R，找一个除环/域包含R（每一个无零因子交换环都是一个域的子环）

• 分式域（商域）：一个域$Q$叫做环$R$的一个分式域，假如$R\subset Q$，并且$Q$恰好由$\frac{a}{b},(a,b\in R,b\neq 0)$作成。

  （整环和分式域可以理解为整数与分数的关系）

  • 思考的过程：

    $F$为任意一个域，$D$为$F$的任一个包含单位元的子环，则$D$一定是一个整环。

    而考虑整环的分式域，是因为环中不能作除法，需要扩充到域；任意一个域的子环必定交换，而且是无零因子的所以只有子环才能够嵌到域中。

  • 定理：

    1. 设$D$是一个整环，则$D$ 的分式域是包含$D$的最小的域。

    2. 若$R$和$R'$都是无零因子交换环，$Q$和$Q'$是分别两者的分式域，则$R\simeq R'$时，$Q\simeq Q'$

       （所以同一个环的商域同构）

• 扩张：如果$F$是$E$的子域，则$E$叫做$F$的扩张。（任何一个域都是其子域的扩张）

  • 定理：设$E$是一个域
    1. 若$CharE=0$，则$E$含有一个和有理数域$Q$同构的子域。
    2. 若$CharE=p$，则$E$含有一个和有理数域$Z/(p)$同构的子域。

• 素域：一个域不含真子域。

  • 如果一个域是素域，则其同构于$Q$或者$Z/(p)$
  • 一个任意域都是一个素域的扩域（但是研究素域的扩域并不比研究一个任意域的扩域来的容易，所以此研究域的普遍方法是：设法决定一个任意域F的所有扩域E）

• 添加集合$S$于$F$所得到的扩张：设$E$是$F$的扩张 ,$S$是$E$的子集，用$F(S)$表示$E$中包含$F$和$S$的最小子域，并且称 $F(S)$为添加集合$S$于$F$所得到的扩张。如果$S=\left\{\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,a_{k}\right\}$，$F(s)$可以写成$F(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,a_{k})$

  • 定理：$F(S_{1})(S_{2})=F(S_{2})(S_{1})=F(S_{1}\cup S_{2})$。
  • 单扩张：只添加一个元素到域得到的扩域。

• 超越元和代数元：$F\subset E$为域扩张，$\alpha \in E$，如果存在$F$上不全为$0$的元素，$a_{0},a_{1},\cdots,a_{n}$，使得$a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}=0$，则称$\alpha$是$F$上的一个代数元，或称$\alpha$在$F$上代数。否则称为$F$上的超越元。

  • 若$\alpha$为代数元，$F(\alpha)$称为$F$的一个单代数扩域。
  • 若$\alpha$为超越元，$F(\alpha)$称为$F$的一个单超越扩域。

• 单扩域的结构：

  • 若$\alpha$为代数元，$F(\alpha)\simeq F[x]/(p(x))$。这里的$p(x)$是$F[x]$上的一个唯一的确定的，最高系数为$1$的不可约多项式，且$p(\alpha)=0$。
  • 若$\alpha$为超越元，$F(\alpha)\simeq F[x]$ 的分式域。这里的$F[x]$是$F$上的一个未定元的多项式环。

• 极小多项式：$F[x]$中满足$p(a)=0$的次数最低的多项式$p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$叫做元$\alpha$在$F$上的极小多项式，$n$叫做$\alpha$在$F$上的次数。

  • 构造$F$的单代数扩张，实际上就是找域$F$上的不可约多项式。

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单代数扩张

• 代数扩域（扩张）：一个域的扩域上的每一个元都是原域上的代数元。这个扩域就是代数扩域。

  • 假定$E$是域$F$的一个扩域，那么对于$E$的加法和$FxE$到$E$的乘法来说，$E$作成$F$上的一个向量空间

• $n$次扩张：若$E$是$F$的扩张，则$E$是$F$上的向量空间。如果$E$是$F$的$n$维向量空间，则称$E$是$F$的$n$次扩张，记为$[E:F]=n$。$n$有限时，称为有限扩张，反之为无限扩张。

• 扩张次数公式：若$E$是$F$的有限扩张，若$K$是$F$的有限扩张，则$E$也是$F$的有限扩张，且$[E:F]=[E:K][K:F]$。（可以依此公式扩展得到望远镜公式）

• 定理：单代数扩张$E=F(\alpha)$是$F$的一个代数扩域。

  • $F(\alpha)$是域$F$的一个单代数扩张，而$\alpha$在$F$上的极小多项式的次数是$n$，那么$F(\alpha)$是$F$的一个$n$次扩域。
  • 域$F$的有限扩域一定是$F$的代数扩域。
  • 一个域上两个代数元的和差积商还是这个域上的代数元。

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分裂域

• 代数闭域：若一个域$E$上的一元多项式环$E[x]$的每一个多项式在$E[x]$中都能分解为一次因式的乘积，则E不再有真正的代数扩域。这样的域称为代数闭域。

  （eg：复数域是代数闭域——代数基本定理）【可以想象成最大的代数扩域】

• 分裂域：域$F$的一个扩域$E$叫做$F[x]$的$n$次多项式$f(x)$在$F$上的一个分裂域，假如

  1. 在$E[x]$里$f(x)$可以分解成一次因式的乘积 $f(x)=a_{n}(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{n})(\alpha_{i}\in F)$

  2. 在一个小于$E$的中间域$I(F\subset I\subset E)$里面，$f(x)$不能这样分解。

     由定义知，$E$是一个使得$f(x)$能够分解为一次因式的 $F$的最小扩域

     ※：分裂域和$f(x)$及$F$都有关。

• 分裂域的存在性：域$F$上任意$n$次多项式都有分裂域。
  ※：即使$f(x)$和其所在的域$F$都已经给定，但是$f(x)$在$F$上的分裂域并不唯一，它取决于逐步扩张的选择。但是，可以证明，无论以何种次序进行扩张，得到的分裂域都是同构的

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有限域

• 定理：一个有限域$F$是它的素域的一个单扩域。

  • 推论：有限域的所有非零元在乘法之下构成循环群。这个生成元叫做有限域的本原元。

• 有限域：只含有限个元素的域。

• 三大结构定理：

  1. 特征为$p$的有限域的元素个数一定是$p^{n}$形式，这里$n$是这个域在它素域上的次数。
  2. 设$p$是任一素数，$n$是任一正整数，则总存在一个恰好含有$p^{n}$个元素的有限域。
  3. 令有限域$E$的特征是$p$，$E$所含素域是$F$，而$E$有$q=p^{n}$个元素，则$E$是多项式$x^{q}-x$在$F$上的分裂域。任何两个这样的域都同构。

• 有限域的子域：设$q=p^{n}$，$p$是素数。

  则$F_{q}$的每个子域是$p^{m}$个元素的有限域，其中$m|n$。反之，若$m|n$，则$F_{q}$包含一个$p^{m}$元子域。

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分圆域

• 设$K$是一个域，$n$是一个正整数。

  1. 多项式$x^{n}-1$在$K$上的分裂域称为$K$上的$n$次分圆域。记为$K^{(n)}$。
  2. $x^{n}-1$在$K^{(n)}$上的根称为$K$上的$n$次单位根，$n$次单位根全体记为$E^{(n)}$。

• 定理：设$K$是一个特征为$p$的有限域，$n$是一个正整数，则有：

  1. 若$p\nmid n$ ，则$E^{(n)}$关于$K^{(n)}$的乘法构成一个$n$阶循环群。
  2. 若$p\mid n$ ，设$n=mp^{e}$，$p\nmid m$，则$K^{(n)}=K^{(m)},E^{(n)}=E^{(m)}$

• $n$次本原单位根：设$K$是一个特征为$p$的有限域，$n$是一个正整数，$p\nmid n$ ，则$E^{(n)}$的生成元称为$K$上的$n$次本原单位根。

  ※：$n$次本原单位根有$\varphi(n)$个

• 分圆多项式：设$K$是一个特征为$p$的有限域，$n$是一个正整数，$p\nmid n$ ，$\zeta$是$K$上一个$n$次本原单位根，令$Q_{n}(x)=\prod_{(s,n)=1}(x-\zeta^{s})$。$Q_{n}(x)$称为$K$上的$n$次分圆多项式。

  ※：$degQ_{n}(x)=\varphi(n)$

• 性质：设$K$是一个特征为$p$的有限域，$n$是一个正整数，$p\nmid n$ ，则

  1. $x^{n}-1=\prod_{d|n} Q_{d}(x)$（可以用来求分圆多项式）
  2. $Q_{n}(x)$的系数属于$K$的素域$Z_{p}$。

  此外，若$d$是$q$模$n$的乘法阶，则：

  1. $[K^{(n)}:K]=d$
  2. $Q_{n}(x)$在$K$上分解为$\frac{\varphi(n)}{d}$个不同的首项系数为1的$d$次不可约多项式的乘积。

• 有限域中元素的表示方法

  1. 多项式表示法

     设$q=p^{n}$，则$F_{q}$是$F_{p}$的$n$次扩张，所以只要找到一个$n$次既约多项式$f(x)$，就有$F_{q}=F_{p}[x]/(f(x))$。如果$\alpha$是$f(x)$在$F_{p}[x]/(f(x))$的一个解。

     则$F(\alpha)=\left\{a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}|a_{i}\in F_{q}\right\}$

  2. 本原元表示法

     $F_{q}$ 的一个本原元是$\zeta$，则$F_{q}=\left\{0,\zeta,\zeta^{2},\cdots\zeta^{q-1}\right\}$

     这样容易计算乘法，但是不好算加法

  3. 伴随矩阵表示法