近世代数大纲

本文最后更新于:2022年11月22日 下午

学习近世代数时提炼的大纲,这个在考期整理花费了很多时间,不过考得还不错

近世代数大纲

群的定义

定义

  • 二元运算:设 AA 是一个非空集合,AA 上的一个二元运算记为 abab,称为 aabb 的乘积

  • 群:设 GG 是一个非空集合,且 GG 上有一个乘法“\cdot”,如果满足乘法封闭,结合律,有幺元,有逆元,则称 GG 关于 \cdot 构成一个群,记为 (G,)(G,\cdot)

    • 交换群(AbelAbel 群):对于 a,bG\forall a,b\in G,满足 ab=baab=ba
    • 群阶:GG 中所含元素的个数,记为 G|G|
      • 有限群,无限群
  • 群元素:由于群元素有结合律,所以可以类比数的运算,定义群的方幂。

    • 群元素的阶:GG 是群,aGa\in G,满足 an=ea^{n}=e 的最小整数 nn,并记为 o(a)o(a)。若 nn 不存在,则记 o(a)=0o(a)=0。【可以替代数论中 δm(a)\delta_{m}(a)
      • 有限群元素的阶必有限;无限群元素的阶可能有限,有可能无限。
  • 消去律:群 GG 具有左右消去律

    • 有限群的两种定义:
      • 第一定义:乘法封闭|结合律|有幺元|有逆元
      • 第二定义:乘法封闭|结合律|左右消去律

子群

  • 子群:GG 是一个群,HHGG 的一个非空子集,若 HH 关于 GG 的乘法也构成一个群,则称 HHGG 的一个子群,记作 HGH\leq G。当 HGH \neq G,称 HH 为真子群。

    • 所以 e,G{e},G 总是 GG 的子群,称为平凡子群
  • 定理(等价):

  1. HHGG 的子群
  2. a,bH\forall a,b\in H,有 abH,b1Hab\in H,b^{-1}\in H
  3. a,bH,\forall a,b\in H,,有 ab1Hab^{-1}\in H(需要验证的工作最少,最常用)
  • 判定方法:1. 运用定理 2. 列出乘法表

四元数群(HamiltonHamilton 群)

I,A=(i00i),B=(0110),C=(0ii0)I,A=\begin{pmatrix}i & 0\\\\ 0 & -i\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}0 & i\\\\ i & 0\end{pmatrix}

H={±I,±A,±B,±C}H=\lbrace \pm I,\pm A,\pm B,\pm C \rbrace

性质:四元数的乘法不符合交换律,四元数群是非交换群


群的变换与置换

  • 群的乘法表:可以判断交换律是否成立

变换

  • 一一映射/双射:既满射又是单射

    一个从A到A的映射叫做A的一个变换

(为了定义“所有的变换”的集合 SS 构成的群)

定义新的运算:对于 α,βS\forall \alpha,\beta \in S,定义 αβ(x)=α(β(x))\alpha\cdot\beta(x)=\alpha(\beta(x))

  • 置换:XX 为有限集合,从 XXXX 的一一变换叫做置换。XX 上全体双射变换集合记为 T(X)T(X)

  • T(X)T(X) 中可以引入刚才定义的运算,对于 α,βT(X)\forall \alpha,\beta\in T(X),定义 αβ\alpha\circ\beta 为变换 α\alphaβ\beta 的复合。(不一定满足交换)

  • 变换群:在上述定义的 \circ 下,T(X)T(X) 构成的群。
    对应:单位元——恒等变换 逆元——逆变换

  • 置换群:XX 为有限集合,T(X)T(X) 构成的变换群。若 X=n|X|=n,则 T(X)T(X) 称为n元对称群。记为 SnS_{n}

    • n元对称群的大小:n!n!

    • 表示记号:(12i1i2i)\begin{pmatrix}1 & 2&\cdots \\\\i_{1} &i_{2} & i_{\cdots}\end{pmatrix}

    • S3S_{3} 是一个最小的有限非交换群,6阶

    • 循环置换(轮换):(i1i2ir)(i_{1}i_{2}\cdots i_{r}) 轮换,其他元素不动。

      • 性质:
        1. 轮换 σ,τ\sigma,\tau 不相交(没有公共元素),则 τσ=στ\tau\sigma=\sigma\tau
        2. SnS_{n} 中任一置换均可以唯一的写成不相交的轮换的乘积。
    • 对换:只含有两个元素的置换。

群的同态和同构

  • 同态映射:设 G1,G2G_{1},G_{2} 是两个群(或者只是集合上有运算),若存在 f:G1G2f:G_{1}\rightarrow G_{2},对于 a,bG1\forall a,b \in G_{1},有 f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b) 成立,则 ff 称为同态映射。称 G1G_{1}G2G_{2} 中的像为 G1G_{1} 的同态像。

  • 同态:若 ff 是满射,则 G1G_{1}G2G_{2} 同态,记为 G1G2G_{1}\sim G_{2}

  • 同态的性质:

    1. G1G2G_{1}\sim G_{2}G1G_{1} 是群,则 G2G_{2} 也是一个群。(G2G1G_{2}\sim G_{1} 不一定,可见同态是有方向的)

    2. G1G2G_{1}\sim G_{2}G1G_{1} 的单位元/ a1a^{-1} 的像是 G2G_{2} 中对应的单位元和 aa 的像的逆元。

  • 同构:若 ff 是双射,则 G1G_{1}G2G_{2} 同构,记为 G1G2G_{1}\simeq G_{2}
    含义:在某种意义 ff 下,这两个群是相同的东西。

  • 凯莱定理( CayleyCayley 定理):每一个群都和某一个变换群同构。
    含义:每一个抽象的群都可以看成是一个具体的群。
    故:任一有限群都同构于一个置换群。


循环群

  • 定义:由一个群生成的群 a={akkZ}\left \langle a\right \rangle=\left\{a^{k}|k\in Z\right\}aa 被称为 GG 的一个生成元。

  • 整数加群:整数加群 ZZ 的子群都是由某一非负整数 mm 生成的循环群,对于 m,n0m,n\geq0nZmZnZ\subset mZ,当且仅当 mnm|n(注意次序)

  • 定理:

    G=aG=\left \langle a\right \rangle

    1. o(a)=mo(a)=m 时,G={a0,,am1}G=\left\{a^{0},\cdots,a^{m-1}\right\}——同构于模m的剩余类加群
    2. o(a)=o(a)=\infty 时,G={,a1,e,a1,}G=\left\{\cdots,a^{-1},e,a^{1},\cdots\right\}——同构于整数加群
  • 循环群的子群还是循环群(证明方法利用 k=dp+rk=dp+r

  • 阶数公式:o(a)=no(a)=no(ar)=n(r,n)o(a^{r})=\frac{n}{(r,n)}

    • 可以利用阶数公式证明:设 GG 为n阶循环群,mm 是一个正整数,而且 mnm|n,则存在唯一一个 GG 的m阶循环子群
  • 生成元 :G=a,G=nG=\left \langle a\right \rangle,|G|=n,则全部生成元为 {ak(k,n)=1}\left\{a^{k}|(k,n)=1\right\},共 φ(n)\varphi(n) 个。

​ (生成元的阶一定是n

  • 有限循环群的判定条件:GG 为有限交换群,对于所有正整数 mm,在 GG 总满足方程 xm=ex^{m}=e 的元素个数不超过 mm

例题:证明 GG 为一有限交换群时,必然 GG 中存在一个元素,它的阶为G中所有元素阶的倍数。


子群的陪集分解

  • 等价关系 \sim:自反性,对称性,传递性

    集合的划分:将一个集合分割为若干个不相交的子集合

    等价关系必有对应划分,划分必有其对应等价关系

  • 等价类:由等价关系确定的等价类,记为 [a][a]aa 为代表元

  • RHR_{H}aba\sim b 当且仅当 b1aHb^{-1}a\in H

    左陪集:HHGG 的子群,aGa\in G,则集合 aH={abbH}aH=\left\{ab|b\in H\right\} 称为 aa 关于 HH 的一个左陪集

    RHR_{H} 下,[a]=aH[a]=aH

    • 定理:
      1. GGHHGG 中所有左陪集的并。
      2. HHGG 中的两个左陪集相等或者不相交
      3. a,bG,aH=bH\forall a,b \in G,aH=bH 当且仅当 aba\sim b

    相似的,可以定义 RHR_{H}' 当且仅当 ab1Hab^{-1}\in H 以及右陪集。由于一个群的乘法不一定满足交换律,故两个相等关系不一定相同。

    • 性质:一个子群的左右陪集个数相等。
  • 指数:GG 关于 HH 左陪集的个数,记作 [G:H][G:H]

    • 对于有限群 [G:H]=GH[G:H]=\frac{|G|}{|H|}
      - 拉格朗日定理:
      1. 一个有限群的子群的阶整除该群的阶
      2. GG 为有限群,则 GG 中每个元素的阶都是 GG 的因子

    • 指数公式:HKGH\leq K\leq G,则 [G:K][K:H]=[G:H][G:K][K:H]=[G:H]


正规子群 群同态

  • 左陪集构成的集合:G/H={aHaG}G/H=\left\{aH|a\in G\right\}

    引入运算:aHbH=abHaH\cdot bH=abH。为了使运算成立,则满足 aG,aH=Ha\forall a\in G,aH=Ha

正规子群

  • 定义:aG,aH=Ha\forall a\in G,aH=Ha,称 HHGG 的正规子群。
    ※:aH=HaaH=Ha 是两个集合的相等
    等价定义:
    1. 任意两个左(右)陪集之积还是一左(右)陪集
    2. aG,aHa1=H\forall a\in G,aHa^{-1}=H
  • 性质:交换群都是正规子群。
  • 四种等价(其实还是对定义的进一步理解):
  1. NNGG 的正规子群
  2. aG,nN\forall a\in G,n\in N,有 a1naNa^{-1}na\in N
  3. aG\forall a\in G,有 a1NaNa^{-1}Na\subseteq N
  4. aG,a1Na=N\forall a\in G,a^{-1}Na=N
  • 商群:在 G/NG/N 上定义运算 aHbH=abHaH\cdot bH=abH 构成的群

同态的核

  • 定义:对于同态 σ:GG\sigma:G\rightarrow G' 单位元的完全反像 σ1(e)\sigma^{-1}(e') 称为同态 σ\sigma 的核。同态 σ\sigma 的核记为 ker(σ)ker(\sigma)

  • 性质:同态的核是群 GG 的正规子群,每一个正规子群都是某一个同态的核。

  • 群同态定理:设 σ:GG\sigma:G\rightarrow G' 是一个满同态,NNσ\sigma 的核,则 G/NG/NGG' 同构。

    ※:自然同态(f:f(a)=aNf:f(a)=aN



环 子环 多项式环

环的定义

  • 加群:一个交换群,只不过我们称它的代数运算叫做加法 ++
    单位元:00 复元:a-a 有数乘律
  • 环:在集合 RR 上定义 ++\bullet 两种运算,若 RR 满足下列条件:
  1. RR++ 是加群
  2. RR\bullet 是封闭
  3. RR\bullet 具有结合律
  4. 满足左右分配律
    则称 RR 关于加法和乘法构成一个环,记作 (R,+,)(R,+,\bullet)
  • 特殊的环:

    • RR 的乘法满足交换律,称为交换环

    • RR 的乘法有幺元,称为有单位元的环

      ※:此时在环中有逆元的元素称为可逆元。

    • a,bR,a0,b0,ab=0\exists a,b\in R,a\neq0,b\neq0,ab=0,称 RR 为有零因子环。aa 为左零因子,bb 为右零因子。反之称为无零因子环。

      • 环的消去律成立,则环无零因子

        • 无零因子环的非零元的加法阶都相等——\infty 或一素数
      • 整环:有单位元的无零因子交换环。
        eg:nn 为合数,ZnZ_{n} 不是整环;nn 为素数,ZnZ_{n} 是整环。

    • 除环:RR 为由单位元的环,且每个非零元均为可逆元。(此时就能够左右除了)

      • 除环中所有非零元素构成的集合在乘法下构成一个群
      • 除环是无零因子环
    • 域:交换的除环。
      eg:数域(有理数/实数/复数)

  • 特征:无零因子环 RR 的加法群的非零元的阶 CharR={0加法阶为R加法阶为素数RCharR=\left\{\begin{matrix} 0&&\text{加法阶为}\infty\\ R&&\text{加法阶为素数}R\end{matrix}\right.

子环

  • 子环/子除环/子整环/子域:环/除环/整环/域的子集,若子集保持父集的运算

  • 子环的判定:SS 是环 RR 的非空子集,则 SSRR 的子环的除非必要条件为:a,bS,abS,abS\forall a,b\in S,a-b\in S,ab\in S

  • 子除环的判定:SS 是环 RR 的非空子集,则 SSRR 的子环的除非必要条件为:

    1. SS 包含一个不等于零的元
    2. a,bS\forall a,b\in S
    3. a,bS,b0,ab1S\forall a,b\in S,b\neq0,ab^{-1}\in S

环同态

  • 环同态映射:设 R,RR,R' 是两个环,若存在 f:RRf:R\rightarrow R',对于 a,bR\forall a,b \in R,有 f(ab)=f(a)f(b),f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b),f(a+b)=f(a)+f(b) 成立,则 ff 称为环同态映射。

  • 环同构:当 ff 为双射时称为同构。

  • 环同态的性质:

    1. 零元映射到零元,负元映射到负元。
    2. 零因子不一定是同态像的零因子

理想

  • 定义:设 (R,+,)(R,+,\cdot) 是环,IIRR 的一个子环,如果对 aIrR\forall a\in I,r\in R,均有 raI,arIra\in I,ar\in I,则称 IIRR 的一个理想。

  • 平凡理想:0{0}RR
    ※:除环只有两个平凡理想

  • 主理想:由 RR 中一个元素 aa 生成的理想称为主理想,记为 (a)(a),则 (a)={xiayi+sa+at+naxi,yi,s,tR,nZ}(a)=\left\{\sum x_{i}ay_{i}+sa+at+na|x_{i},y_{i},s,t\in R,n\in Z\right\}\sum 是有限和)

    • RR 是交换环时,(a)={sa+ats,tR}(a)=\left\{sa+at|s,t\in R\right\}

    • RR 是有单位元的环时,(a)={xiayixi,yiR}(a)=\left\{\sum x_{i}ay_{i}|x_{i},y_{i}\in R\right\}

    • RR 是有单位元的交换环时,(a)={rarR}(a)=\left\{ra|r\in R\right\}

  • 定理:整数环 ZZ 中任一理想都是主理想。(仿照 k=rq+rk=rq+r 的证明)

  • 商环:在加法商群 R/IR/I 上定义乘法 (x+I)+(y+I)=(x+y)+I,(x+I)(y+I)=(xy)+I(x+I)+(y+I)=(x+y)+I,(x+I)(y+I)=(xy)+I,则得到 R/IR/I 构成的环。

  • 环同态基本定理:设 f:RRf:R\rightarrow R' 是一个满同态,则 ff 的核是 RR 的理想,则 G/Ker(f)G/Ker(f)GG' 同构。

    ※:自然同态(f:f(a)=a+If:f(a)=a+I


多项式

  • p元伽罗瓦域:设素数 pp,设 Fp={0,1,,p1}F_{p}=\left\{0,1,\cdots,p-1\right\} 为整数集,设 f:Z/(p)Fpf:Z/(p)\rightarrow F_{p} 定义为 f([a])=af([a])=aa=0,1,,p1a=0,1,\cdots,p-1。则 FpF_{p}ff 的诱导下称为一个域,即 p 元伽罗瓦域。

  • F[x]F[x] 中任一理想都是主理想,其形式为 g(x)+(f(x))g(x)+(f(x)),其中 g(x)g(x) 的最高项次数不高于 degf(x)degf(x)

两种特殊的理想

  • 素理想:设 PP 是环 RR 的一个理想,若 $\forall a,b\in R且 abPab\in P,都有 aPa\in P 或者 bPb\in P,则 PP 是素理想。
    eg:整数环中,素数 pp 生成的理想

  • 极大理想:一个环 RR 的一个不等于 RR 的理想 II,除了 RRII 以外没有包含 II 的理想。

    eg:整数环中,素数 pp 生成的理想

    • 定理:有单位元的交换环必有极大理想。
    • 有单位元的交换环的极大理想必是素理想
  • 重要定理:设 RR 是有单位元的交换环,II 是其理想

    1. II 是素理想,则 R/IR/I 是一个整环;
    2. II 是极大理想,则 R/IR/I 是一个域。(这样,我们就能够构造域了
      (充分必要)

多项式的性质

  • 可约多项式:设 f(x)F[x]f(x)\in F[x]f(x)f(x) 可以写成 f(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)h(x)
  • 利用不可约多项式构造域:设 F[x]F[x] 是域 FF 上一个一元多项式环,f(x)F[x]f(x)\in F[x] 是一个次数不大于零的不可约多项式,则 (f(x))(f(x))F[x]F[x] 的极大理想,从而 F[x]/(f(x))F[x]/(f(x)) 是一个域。
  • 根:令多项式的值等于0的自变量取值。
    • 推论:
      1. f(x)F[x]f(x)\in F[x],则c是 f(x)f(x) 的根当且仅当 (xc)f(x)(x-c)|f(x)
      2. c是 f(x)f(x)rr 重根,则c是 f(x)f'(x)r1r-1 重根。
      3. (f(x),f(x))=1(f(x),f'(x))=1,则 f(x)f(x) 没有重根。
      4. n次多项式 f(x)F[x]f(x)\in F[x] 不同根 cFc\in F 的个数最多为n。
      5. f(x),g(x)F[x]f(x),g(x)\in F[x],若有 n+1n+1 个元素 cic_{i},使得f(c_{i})=g(c_{i}),则 f(x)=g(x)f(x)=g(x)
      6. LagrangeLagrange 插值公式:给出 n+1n+1ai,bia_{i},b_{i},存在一个次数不超过n的多项式 f(x)f(x) 满足 f(a1)=bif(a_{1})=b_{i}。此时 f(x)=i=0nbik=0,kin(aiak)1(xak)f(x)=\sum^{n}_{i=0}b_{i}\prod^{n}_{k=0,k\neq i}(a_{i}-a{k})^{-1}(x-a_{k})
      7. f(x)Z[x]f(x)\in Z[x]f(x)f(x) 可以写成 f(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)h(x)g(x)h(x)Q[x]g(x),h(x)\in Q[x],则存在有理数 rr,使得 rg(x),1rh(x)Z[x]rg(x),\frac{1}{r}h(x)\in Z[x]
      8. EisensteinEisenstein 判别法:设 f(x)=a0++anxnZ[x]f(x)=a_{0}+\cdots+a_{n}x^{n}\in Z[x]pp 为一个素数。若满足:
        • panp\nmid a_{n}
        • pai,i=0,1,,n1p|a_{i},i=0,1,\cdots,n-1
        • pnc0p^{n}\nmid c_{0}
          f(x)f(x)Z[x]Z[x] 上不可约。(从而在Q[x]上也不可约)
  • 有限域上不可约多项式的判定方法:
    1. 定义
    2. 三次不可约多项式必然没有一次因式/四次不可约多项式必然没有一次因式和二次因式/六次不可约多项式必然没有一次因式、二次因式和三次因式

基于多项式的密钥共享

过程:tt 个门限,nn 个共享者。选取 t1t-1 次多项式 f(x)f(x)xi(i=1,,n)x_{i}(i=1,\dots,n) 计算 f(xi)f(x_{i}),然后将 (xi,f(xi))(x_{i},f(x_{i})) 分发给共享者。任意 tt 个子密钥即可重构出主密钥。



素域 单扩张

  • 从环构造域:1. 找有单位元的交换环的极大理想 2. 给定环R,找一个除环/域包含R(每一个无零因子交换环都是一个域的子环)

  • 分式域(商域):一个域 QQ 叫做环 RR 的一个分式域,假如 RQR\subset Q,并且 QQ 恰好由 ab,(a,bR,b0)\frac{a}{b},(a,b\in R,b\neq 0) 作成。

    (整环和分式域可以理解为整数与分数的关系)

    • 思考的过程:

      FF 为任意一个域,DDFF 的任一个包含单位元的子环,则 DD 一定是一个整环。

      而考虑整环的分式域,是因为环中不能作除法,需要扩充到域;任意一个域的子环必定交换,而且是无零因子的所以只有子环才能够嵌到域中。

    • 定理:

      1. DD 是一个整环,则 DD 的分式域是包含 DD 的最小的域。

      2. RRRR' 都是无零因子交换环,QQQQ' 是分别两者的分式域,则 RRR\simeq R' 时,QQQ\simeq Q'

        (所以同一个环的商域同构)

  • 扩张:如果 FFEE 的子域,则 EE 叫做 FF 的扩张。(任何一个域都是其子域的扩张)

    • 定理:设 EE 是一个域
      1. CharE=0CharE=0,则 EE 含有一个和有理数域 QQ 同构的子域。
      2. CharE=pCharE=p,则 EE 含有一个和有理数域 Z/(p)Z/(p) 同构的子域。
  • 素域:一个域不含真子域。

    • 如果一个域是素域,则其同构于 QQ 或者 Z/(p)Z/(p)
    • 一个任意域都是一个素域的扩域(但是研究素域的扩域并不比研究一个任意域的扩域来的容易,所以此研究域的普遍方法是:设法决定一个任意域F的所有扩域E)
  • 添加集合 SSFF 所得到的扩张:设 EEFF 的扩张 ,SSEE 的子集,用 F(S)F(S) 表示 EE 中包含 FFSS 的最小子域,并且称 F(S)F(S) 为添加集合 SSFF 所得到的扩张。如果 S={α1,α2,,ak}S=\left\{\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,a_{k}\right\}F(s)F(s) 可以写成 F(α1,α2,,ak)F(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,a_{k})

    • 定理:F(S1)(S2)=F(S2)(S1)=F(S1S2)F(S_{1})(S_{2})=F(S_{2})(S_{1})=F(S_{1}\cup S_{2})
    • 单扩张:只添加一个元素到域得到的扩域。
  • 超越元和代数元:FEF\subset E 为域扩张,αE\alpha \in E,如果存在 FF 上不全为 00 的元素,a0,a1,,ana_{0},a_{1},\cdots,a_{n},使得 a0+a1α++anαn=0a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}=0,则称 α\alphaFF 上的一个代数元,或称 α\alphaFF 上代数。否则称为 FF 上的超越元。

    • α\alpha 为代数元,F(α)F(\alpha) 称为 FF 的一个单代数扩域。
    • α\alpha 为超越元,F(α)F(\alpha) 称为 FF 的一个单超越扩域。
  • 单扩域的结构:

    • α\alpha 为代数元,F(α)F[x]/(p(x))F(\alpha)\simeq F[x]/(p(x))。这里的 p(x)p(x)F[x]F[x] 上的一个唯一的确定的,最高系数为 11 的不可约多项式,且 p(α)=0p(\alpha)=0
    • α\alpha 为超越元,F(α)F[x]F(\alpha)\simeq F[x] 的分式域。这里的 F[x]F[x]FF 上的一个未定元的多项式环。
  • 极小多项式:F[x]F[x] 中满足 p(a)=0p(a)=0 的次数最低的多项式 p(x)=xn+an1xn1++a0p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0} 叫做元 α\alphaFF 上的极小多项式,nn 叫做 α\alphaFF 上的次数。

    • 构造 FF 的单代数扩张,实际上就是找域 FF 上的不可约多项式。

单代数扩张

  • 代数扩域(扩张):一个域的扩域上的每一个元都是原域上的代数元。这个扩域就是代数扩域。

    • 假定 EE 是域 FF 的一个扩域,那么对于 EE 的加法和 FxEFxEEE 的乘法来说,EE 作成 FF 上的一个向量空间
  • nn 次扩张:若 EEFF 的扩张,则 EEFF 上的向量空间。如果 EEFFnn 维向量空间,则称 EEFFnn 次扩张,记为 [E:F]=n[E:F]=nnn 有限时,称为有限扩张,反之为无限扩张。

  • 扩张次数公式:若 EEFF 的有限扩张,若 KKFF 的有限扩张,则 EE 也是 FF 的有限扩张,且 [E:F]=[E:K][K:F][E:F]=[E:K][K:F]。(可以依此公式扩展得到望远镜公式)

  • 定理:单代数扩张 E=F(α)E=F(\alpha)FF 的一个代数扩域。

    • F(α)F(\alpha) 是域 FF 的一个单代数扩张,而 α\alphaFF 上的极小多项式的次数是 nn,那么 F(α)F(\alpha)FF 的一个 nn 次扩域。
    • FF 的有限扩域一定是 FF 的代数扩域。
    • 一个域上两个代数元的和差积商还是这个域上的代数元。

分裂域

  • 代数闭域:若一个域 EE 上的一元多项式环 E[x]E[x] 的每一个多项式在 E[x]E[x] 中都能分解为一次因式的乘积,则E不再有真正的代数扩域。这样的域称为代数闭域。

    (eg:复数域是代数闭域——代数基本定理)【可以想象成最大的代数扩域】

  • 分裂域:域 FF 的一个扩域 EE 叫做 F[x]F[x]nn 次多项式 f(x)f(x)FF 上的一个分裂域,假如

    1. E[x]E[x]f(x)f(x) 可以分解成一次因式的乘积 f(x)=an(xα1)(xα2)(xαn)(αiF)f(x)=a_{n}(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{n})(\alpha_{i}\in F)

    2. 在一个小于 EE 的中间域 I(FIE)I(F\subset I\subset E) 里面,f(x)f(x) 不能这样分解。

      由定义知,EE 是一个使得 f(x)f(x) 能够分解为一次因式的 FF 的最小扩域

      ※:分裂域和 f(x)f(x)FF 都有关。

  • 分裂域的存在性:域 FF 上任意 nn 次多项式都有分裂域。
    ※:即使 f(x)f(x) 和其所在的域 FF 都已经给定,但是 f(x)f(x)FF 上的分裂域并不唯一,它取决于逐步扩张的选择。但是,可以证明,无论以何种次序进行扩张,得到的分裂域都是同构的


有限域

  • 定理:一个有限域 FF 是它的素域的一个单扩域。

    • 推论:有限域的所有非零元在乘法之下构成循环群。这个生成元叫做有限域的本原元。
  • 有限域:只含有限个元素的域。

  • 三大结构定理:

    1. 特征为 pp 的有限域的元素个数一定是 pnp^{n} 形式,这里 nn 是这个域在它素域上的次数。
    2. pp 是任一素数,nn 是任一正整数,则总存在一个恰好含有 pnp^{n} 个元素的有限域。
    3. 令有限域 EE 的特征是 ppEE 所含素域是 FF,而 EEq=pnq=p^{n} 个元素,则 EE 是多项式 xqxx^{q}-xFF 上的分裂域。任何两个这样的域都同构。
  • 有限域的子域:设 q=pnq=p^{n}pp 是素数。

    FqF_{q} 的每个子域是 pmp^{m} 个元素的有限域,其中 mnm|n。反之,若 mnm|n,则 FqF_{q} 包含一个 pmp^{m} 元子域。


分圆域

  • KK 是一个域,nn 是一个正整数。

    1. 多项式 xn1x^{n}-1KK 上的分裂域称为 KK 上的 nn 次分圆域。记为 K(n)K^{(n)}
    2. xn1x^{n}-1K(n)K^{(n)} 上的根称为 KK 上的 nn 次单位根,nn 次单位根全体记为 E(n)E^{(n)}
  • 定理:设 KK 是一个特征为 pp 的有限域,nn 是一个正整数,则有:

    1. pnp\nmid n ,则 E(n)E^{(n)} 关于 K(n)K^{(n)} 的乘法构成一个 nn 阶循环群。
    2. pnp\mid n ,设 n=mpen=mp^{e}pmp\nmid m,则 K(n)=K(m),E(n)=E(m)K^{(n)}=K^{(m)},E^{(n)}=E^{(m)}
  • nn 次本原单位根:设 KK 是一个特征为 pp 的有限域,nn 是一个正整数,pnp\nmid n ,则 E(n)E^{(n)} 的生成元称为 KK 上的 nn 次本原单位根。

    ※:nn 次本原单位根有 φ(n)\varphi(n)

  • 分圆多项式:设 KK 是一个特征为 pp 的有限域,nn 是一个正整数,pnp\nmid nζ\zetaKK 上一个 nn 次本原单位根,令 Qn(x)=(s,n)=1(xζs)Q_{n}(x)=\prod_{(s,n)=1}(x-\zeta^{s})Qn(x)Q_{n}(x) 称为 KK 上的 nn 次分圆多项式。

    ※:degQn(x)=φ(n)degQ_{n}(x)=\varphi(n)

  • 性质:设 KK 是一个特征为 pp 的有限域,nn 是一个正整数,pnp\nmid n ,则

    1. xn1=dnQd(x)x^{n}-1=\prod_{d|n} Q_{d}(x)(可以用来求分圆多项式)
    2. Qn(x)Q_{n}(x) 的系数属于 KK 的素域 ZpZ_{p}

    此外,若 ddqqnn 的乘法阶,则:

    1. [K(n):K]=d[K^{(n)}:K]=d
    2. Qn(x)Q_{n}(x)KK 上分解为 φ(n)d\frac{\varphi(n)}{d} 个不同的首项系数为1的 dd 次不可约多项式的乘积。
  • 有限域中元素的表示方法

    1. 多项式表示法

      q=pnq=p^{n},则 FqF_{q}FpF_{p}nn 次扩张,所以只要找到一个 nn 次既约多项式 f(x)f(x),就有 Fq=Fp[x]/(f(x))F_{q}=F_{p}[x]/(f(x))。如果 α\alphaf(x)f(x)Fp[x]/(f(x))F_{p}[x]/(f(x)) 的一个解。

      F(α)={a0+a1α++an1αn1aiFq}F(\alpha)=\left\{a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}|a_{i}\in F_{q}\right\}

    2. 本原元表示法

      FqF_{q} 的一个本原元是 ζ\zeta,则 Fq={0,ζ,ζ2,ζq1}F_{q}=\left\{0,\zeta,\zeta^{2},\cdots\zeta^{q-1}\right\}

      这样容易计算乘法,但是不好算加法

    3. 伴随矩阵表示法


近世代数大纲
https://justloseit.top/近世代数大纲/
作者
Mobilis In Mobili
发布于
2020年1月11日
更新于
2022年11月22日
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