近世代数大纲

本文最后更新于：2022年11月22日 下午

学习近世代数时提炼的大纲，这个在考期整理花费了很多时间，不过考得还不错

近世代数大纲

群

群的定义

定义

  • 二元运算：设 AA 是一个非空集合，AA 上的一个二元运算记为 abab，称为 aa 与 bb 的乘积

  • 群：设 GG 是一个非空集合，且 GG 上有一个乘法“⋅\cdot”，如果满足乘法封闭，结合律，有幺元，有逆元，则称 GG 关于 ⋅\cdot 构成一个群，记为 (G,⋅)(G,\cdot)。

    • 交换群（AbelAbel 群）：对于 ∀a,b∈G\forall a,b\in G，满足 ab=baab=ba
    • 群阶：GG 中所含元素的个数，记为 ∣G∣|G|。
      • 有限群，无限群

  • 群元素：由于群元素有结合律，所以可以类比数的运算，定义群的方幂。

    • 群元素的阶：GG 是群，a∈Ga\in G，满足 an=ea^{n}=e 的最小整数 nn，并记为 o(a)o(a)。若 nn 不存在，则记 o(a)=0o(a)=0。【可以替代数论中 δm(a)\delta_{m}(a)】
      • 有限群元素的阶必有限；无限群元素的阶可能有限，有可能无限。

  • 消去律：群 GG 具有左右消去律

    • 有限群的两种定义：
      • 第一定义：乘法封闭|结合律|有幺元|有逆元
      • 第二定义：乘法封闭|结合律|左右消去律

子群

  • 子群：GG 是一个群，HH 是 GG 的一个非空子集，若 HH 关于 GG 的乘法也构成一个群，则称 HH 为 GG 的一个子群，记作 H≤GH\leq G。当 H≠GH \neq G，称 HH 为真子群。

    • 所以 e,G{e},G 总是 GG 的子群，称为平凡子群

  • 定理（等价）：

  1. HH 是 GG 的子群
  2. ∀a,b∈H\forall a,b\in H，有 ab∈H,b−1∈Hab\in H,b^{-1}\in H
  3. ∀a,b∈H,\forall a,b\in H,，有 ab−1∈Hab^{-1}\in H（需要验证的工作最少，最常用）
  • 判定方法：1. 运用定理 2. 列出乘法表

四元数群（HamiltonHamilton 群）

I,A=(i00−i),B=(01−10),C=(0ii0)I,A=\begin{pmatrix}i & 0\\\\ 0 & -i\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}0 & i\\\\ i & 0\end{pmatrix}

H={±I,±A,±B,±C}H=\lbrace \pm I,\pm A,\pm B,\pm C \rbrace

性质：四元数的乘法不符合交换律，四元数群是非交换群

群的变换与置换

  • 群的乘法表：可以判断交换律是否成立

变换

  • 一一映射/双射:既满射又是单射

    一个从A到A的映射叫做A的一个变换

（为了定义“所有的变换”的集合 SS 构成的群）

定义新的运算：对于 ∀α,β∈S\forall \alpha,\beta \in S，定义 α⋅β(x)=α(β(x))\alpha\cdot\beta(x)=\alpha(\beta(x))

  • 置换：XX 为有限集合，从 XX 到 XX 的一一变换叫做置换。XX 上全体双射变换集合记为 T(X)T(X)

  • 在 T(X)T(X) 中可以引入刚才定义的运算，对于 ∀α,β∈T(X)\forall \alpha,\beta\in T(X)，定义 α∘β\alpha\circ\beta 为变换 α\alpha 和 β\beta 的复合。（不一定满足交换）

  • 变换群：在上述定义的 ∘\circ 下，T(X)T(X) 构成的群。
    对应：单位元——恒等变换 逆元——逆变换

  • 置换群：XX 为有限集合，T(X)T(X) 构成的变换群。若 ∣X∣=n|X|=n，则 T(X)T(X) 称为n元对称群。记为 SnS_{n}。

    • n元对称群的大小：n!n!

    • 表示记号：(12⋯i1i2i⋯)\begin{pmatrix}1 & 2&\cdots \\\\i_{1} &i_{2} & i_{\cdots}\end{pmatrix}

    • S3S_{3} 是一个最小的有限非交换群，6阶

    • 循环置换（轮换）：(i1i2⋯ir)(i_{1}i_{2}\cdots i_{r}) 轮换，其他元素不动。

      • 性质：
        1. 轮换 σ,τ\sigma,\tau 不相交(没有公共元素)，则 τσ=στ\tau\sigma=\sigma\tau。
        2. SnS_{n} 中任一置换均可以唯一的写成不相交的轮换的乘积。

    • 对换：只含有两个元素的置换。

群的同态和同构

  • 同态映射：设 G1,G2G_{1},G_{2} 是两个群（或者只是集合上有运算），若存在 f:G1→G2f:G_{1}\rightarrow G_{2}，对于 ∀a,b∈G1\forall a,b \in G_{1}，有 f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b) 成立，则 ff 称为同态映射。称 G1G_{1} 在 G2G_{2} 中的像为 G1G_{1} 的同态像。

  • 同态：若 ff 是满射，则 G1G_{1} 和 G2G_{2} 同态，记为 G1∼G2G_{1}\sim G_{2}。

  • 同态的性质：

    1. 若 G1∼G2G_{1}\sim G_{2}，G1G_{1} 是群，则 G2G_{2} 也是一个群。(G2∼G1G_{2}\sim G_{1} 不一定，可见同态是有方向的）

    2. G1∼G2G_{1}\sim G_{2}，G1G_{1} 的单位元/ a−1a^{-1} 的像是 G2G_{2} 中对应的单位元和 aa 的像的逆元。

  • 同构：若 ff 是双射，则 G1G_{1} 和 G2G_{2} 同构，记为 G1≃G2G_{1}\simeq G_{2}。
    含义：在某种意义 ff 下，这两个群是相同的东西。

  • 凯莱定理（ CayleyCayley 定理）：每一个群都和某一个变换群同构。
    含义：每一个抽象的群都可以看成是一个具体的群。
    故：任一有限群都同构于一个置换群。

循环群

  • 定义：由一个群生成的群 ⟨a⟩={ak∣k∈Z}\left \langle a\right \rangle=\left\{a^{k}|k\in Z\right\}。aa 被称为 GG 的一个生成元。

  • 整数加群：整数加群 ZZ 的子群都是由某一非负整数 mm 生成的循环群，对于 m,n≥0m,n\geq0，nZ⊂mZnZ\subset mZ，当且仅当 m∣nm|n（注意次序）

  • 定理：

    设 G=⟨a⟩G=\left \langle a\right \rangle

    1. 当 o(a)=mo(a)=m 时，G={a0,⋯ ,am−1}G=\left\{a^{0},\cdots,a^{m-1}\right\}——同构于模m的剩余类加群
    2. 当 o(a)=∞o(a)=\infty 时，G={⋯ ,a−1,e,a1,⋯ }G=\left\{\cdots,a^{-1},e,a^{1},\cdots\right\}——同构于整数加群

  • 循环群的子群还是循环群（证明方法利用 k=dp+rk=dp+r）

  • 阶数公式：o(a)=no(a)=n ， o(ar)=n(r,n)o(a^{r})=\frac{n}{(r,n)}

    • 可以利用阶数公式证明：设 GG 为n阶循环群，mm 是一个正整数，而且 m∣nm|n，则存在唯一一个 GG 的m阶循环子群

  • 生成元 ：G=⟨a⟩,∣G∣=nG=\left \langle a\right \rangle,|G|=n，则全部生成元为 {ak∣(k,n)=1}\left\{a^{k}|(k,n)=1\right\}，共 φ(n)\varphi(n) 个。

​ （生成元的阶一定是n）

  • 有限循环群的判定条件：GG 为有限交换群，对于所有正整数 mm，在 GG 总满足方程 xm=ex^{m}=e 的元素个数不超过 mm。

例题：证明 GG 为一有限交换群时，必然 GG 中存在一个元素，它的阶为G中所有元素阶的倍数。

子群的陪集分解

  • 等价关系 ∼\sim：自反性，对称性，传递性

    集合的划分：将一个集合分割为若干个不相交的子集合

    等价关系必有对应划分，划分必有其对应等价关系

  • 等价类：由等价关系确定的等价类，记为 [a][a]，aa 为代表元

  • RHR_{H}：a∼ba\sim b 当且仅当 b−1a∈Hb^{-1}a\in H

    左陪集：HH 为 GG 的子群，a∈Ga\in G，则集合 aH={ab∣b∈H}aH=\left\{ab|b\in H\right\} 称为 aa 关于 HH 的一个左陪集

    在 RHR_{H} 下，[a]=aH[a]=aH

    • 定理：
      1. GG 是 HH 在 GG 中所有左陪集的并。
      2. HH 在 GG 中的两个左陪集相等或者不相交
      3. ∀a,b∈G,aH=bH\forall a,b \in G,aH=bH 当且仅当 a∼ba\sim b

    相似的，可以定义 RH′R_{H}' 当且仅当 ab−1∈Hab^{-1}\in H 以及右陪集。由于一个群的乘法不一定满足交换律，故两个相等关系不一定相同。

    • 性质：一个子群的左右陪集个数相等。

  • 指数：GG 关于 HH 左陪集的个数，记作 [G:H][G:H]

    • 对于有限群 [G:H]=∣G∣∣H∣[G:H]=\frac{|G|}{|H|}
      - 拉格朗日定理：
      1. 一个有限群的子群的阶整除该群的阶
      2. GG 为有限群，则 GG 中每个元素的阶都是 GG 的因子

    • 指数公式：H≤K≤GH\leq K\leq G，则 [G:K][K:H]=[G:H][G:K][K:H]=[G:H]

正规子群 群同态

  • 左陪集构成的集合：G/H={aH∣a∈G}G/H=\left\{aH|a\in G\right\}

    引入运算：aH⋅bH=abHaH\cdot bH=abH。为了使运算成立，则满足 ∀a∈G,aH=Ha\forall a\in G,aH=Ha。

正规子群

  • 定义：∀a∈G,aH=Ha\forall a\in G,aH=Ha，称 HH 是 GG 的正规子群。
    ※：aH=HaaH=Ha 是两个集合的相等
    等价定义：
    1. 任意两个左（右）陪集之积还是一左（右）陪集
    2. ∀a∈G,aHa−1=H\forall a\in G,aHa^{-1}=H
  • 性质：交换群都是正规子群。
  • 四种等价（其实还是对定义的进一步理解）：
  1. NN 是 GG 的正规子群
  2. ∀a∈G,n∈N\forall a\in G,n\in N，有 a−1na∈Na^{-1}na\in N
  3. ∀a∈G\forall a\in G，有 a−1Na⊆Na^{-1}Na\subseteq N
  4. ∀a∈G,a−1Na=N\forall a\in G,a^{-1}Na=N
  • 商群：在 G/NG/N 上定义运算 aH⋅bH=abHaH\cdot bH=abH 构成的群

同态的核

  • 定义：对于同态 σ:G→G′\sigma:G\rightarrow G' 单位元的完全反像 σ−1(e′)\sigma^{-1}(e') 称为同态 σ\sigma 的核。同态 σ\sigma 的核记为 ker(σ)ker(\sigma)

  • 性质：同态的核是群 GG 的正规子群，每一个正规子群都是某一个同态的核。

  • 群同态定理：设 σ:G→G′\sigma:G\rightarrow G' 是一个满同态，NN 是 σ\sigma 的核，则 G/NG/N 与 G′G' 同构。

    ※：自然同态（f:f(a)=aNf:f(a)=aN）

环

环 子环 多项式环

环的定义

  • 加群：一个交换群，只不过我们称它的代数运算叫做加法 ++。
    单位元：00 复元：−a-a 有数乘律
  • 环：在集合 RR 上定义 ++ 和 ∙\bullet 两种运算，若 RR 满足下列条件：
  1. RR 对 ++ 是加群
  2. RR 对 ∙\bullet 是封闭
  3. RR 对 ∙\bullet 具有结合律
  4. 满足左右分配律
    则称 RR 关于加法和乘法构成一个环，记作 (R,+,∙)(R,+,\bullet)

  • 特殊的环：

    • RR 的乘法满足交换律，称为交换环

    • RR 的乘法有幺元，称为有单位元的环

      ※：此时在环中有逆元的元素称为可逆元。

    • 若 ∃a,b∈R,a≠0,b≠0,ab=0\exists a,b\in R,a\neq0,b\neq0,ab=0，称 RR 为有零因子环。aa 为左零因子，bb 为右零因子。反之称为无零因子环。

      • 环的消去律成立，则环无零因子

        • 无零因子环的非零元的加法阶都相等——∞\infty 或一素数

      • 整环：有单位元的无零因子交换环。
        eg：nn 为合数，ZnZ_{n} 不是整环；nn 为素数，ZnZ_{n} 是整环。

    • 除环：RR 为由单位元的环，且每个非零元均为可逆元。（此时就能够左右除了）

      • 除环中所有非零元素构成的集合在乘法下构成一个群
      • 除环是无零因子环

    • 域：交换的除环。
      eg：数域（有理数/实数/复数）

  • 特征：无零因子环 RR 的加法群的非零元的阶 CharR={0加法阶为∞R加法阶为素数RCharR=\left\{\begin{matrix} 0&&\text{加法阶为}\infty\\ R&&\text{加法阶为素数}R\end{matrix}\right.

子环

  • 子环/子除环/子整环/子域：环/除环/整环/域的子集，若子集保持父集的运算

  • 子环的判定：SS 是环 RR 的非空子集，则 SS 是 RR 的子环的除非必要条件为：∀a,b∈S,a−b∈S,ab∈S\forall a,b\in S,a-b\in S,ab\in S

  • 子除环的判定：SS 是环 RR 的非空子集，则 SS 是 RR 的子环的除非必要条件为：

    1. SS 包含一个不等于零的元
    2. ∀a,b∈S\forall a,b\in S
    3. ∀a,b∈S,b≠0,ab−1∈S\forall a,b\in S,b\neq0,ab^{-1}\in S

环同态

  • 环同态映射：设 R,R′R,R' 是两个环，若存在 f:R→R′f:R\rightarrow R'，对于 ∀a,b∈R\forall a,b \in R，有 f(ab)=f(a)f(b),f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b),f(a+b)=f(a)+f(b) 成立，则 ff 称为环同态映射。

  • 环同构：当 ff 为双射时称为同构。

  • 环同态的性质：

    1. 零元映射到零元，负元映射到负元。
    2. 零因子不一定是同态像的零因子

理想

  • 定义：设 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 是环，II 是 RR 的一个子环，如果对 ∀a∈I，r∈R\forall a\in I，r\in R，均有 ra∈I,ar∈Ira\in I,ar\in I，则称 II 是 RR 的一个理想。

  • 平凡理想：0{0} 和 RR。
    ※：除环只有两个平凡理想

  • 主理想：由 RR 中一个元素 aa 生成的理想称为主理想，记为 (a)(a)，则 (a)={∑xiayi+sa+at+na∣xi,yi,s,t∈R,n∈Z}(a)=\left\{\sum x_{i}ay_{i}+sa+at+na|x_{i},y_{i},s,t\in R,n\in Z\right\}（∑\sum 是有限和）

    • RR 是交换环时，(a)={sa+at∣s,t∈R}(a)=\left\{sa+at|s,t\in R\right\}

    • RR 是有单位元的环时，(a)={∑xiayi∣xi,yi∈R}(a)=\left\{\sum x_{i}ay_{i}|x_{i},y_{i}\in R\right\}

    • RR 是有单位元的交换环时，(a)={ra∣r∈R}(a)=\left\{ra|r\in R\right\}

  • 定理：整数环 ZZ 中任一理想都是主理想。（仿照 k=rq+rk=rq+r 的证明）

  • 商环：在加法商群 R/IR/I 上定义乘法 (x+I)+(y+I)=(x+y)+I,(x+I)(y+I)=(xy)+I(x+I)+(y+I)=(x+y)+I,(x+I)(y+I)=(xy)+I，则得到 R/IR/I 构成的环。

  • 环同态基本定理：设 f:R→R′f:R\rightarrow R' 是一个满同态，则 ff 的核是 RR 的理想，则 G/Ker(f)G/Ker(f) 与 G′G' 同构。

    ※：自然同态（f:f(a)=a+If:f(a)=a+I）

多项式

  • p元伽罗瓦域：设素数 pp，设 Fp={0,1,⋯ ,p−1}F_{p}=\left\{0,1,\cdots,p-1\right\} 为整数集，设 f:Z/(p)→Fpf:Z/(p)\rightarrow F_{p} 定义为 f([a])=af([a])=a 对 a=0,1,⋯ ,p−1a=0,1,\cdots,p-1。则 FpF_{p} 在 ff 的诱导下称为一个域，即 p 元伽罗瓦域。

  • F[x]F[x] 中任一理想都是主理想，其形式为 g(x)+(f(x))g(x)+(f(x))，其中 g(x)g(x) 的最高项次数不高于 degf(x)degf(x)

两种特殊的理想

  • 素理想：设 PP 是环 RR 的一个理想，若 $\forall a,b\in R且 ab∈Pab\in P，都有 a∈Pa\in P 或者 b∈Pb\in P，则 PP 是素理想。
    eg：整数环中，素数 pp 生成的理想

  • 极大理想：一个环 RR 的一个不等于 RR 的理想 II，除了 RR 和 II 以外没有包含 II 的理想。

    eg：整数环中，素数 pp 生成的理想

    • 定理：有单位元的交换环必有极大理想。
    • 有单位元的交换环的极大理想必是素理想

  • 重要定理：设 RR 是有单位元的交换环，II 是其理想

    1. 若 II 是素理想，则 R/IR/I 是一个整环；
    2. 若 II 是极大理想，则 R/IR/I 是一个域。（这样，我们就能够构造域了）
      （充分必要）

多项式的性质

  • 可约多项式：设 f(x)∈F[x]f(x)\in F[x]，f(x)f(x) 可以写成 f(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)h(x)。
  • 利用不可约多项式构造域：设 F[x]F[x] 是域 FF 上一个一元多项式环，f(x)∈F[x]f(x)\in F[x] 是一个次数不大于零的不可约多项式，则 (f(x))(f(x)) 是 F[x]F[x] 的极大理想，从而 F[x]/(f(x))F[x]/(f(x)) 是一个域。
  • 根：令多项式的值等于0的自变量取值。
    • 推论：
      1. f(x)∈F[x]f(x)\in F[x]，则c是 f(x)f(x) 的根当且仅当 (x−c)∣f(x)(x-c)|f(x)。
      2. c是 f(x)f(x) 的 rr 重根，则c是 f′(x)f'(x) 的 r−1r-1 重根。
      3. 若 (f(x),f′(x))=1(f(x),f'(x))=1，则 f(x)f(x) 没有重根。
      4. n次多项式 f(x)∈F[x]f(x)\in F[x] 不同根 c∈Fc\in F 的个数最多为n。
      5. f(x),g(x)∈F[x]f(x),g(x)\in F[x],若有 n+1n+1 个元素 cic_{i}，使得f(c_{i})=g(c_{i})，则 f(x)=g(x)f(x)=g(x)。
      6. LagrangeLagrange 插值公式：给出 n+1n+1 个 ai,bia_{i},b_{i}，存在一个次数不超过n的多项式 f(x)f(x) 满足 f(a1)=bif(a_{1})=b_{i}。此时 f(x)=∑i=0nbi∏k=0,k≠in(ai−ak)−1(x−ak)f(x)=\sum^{n}_{i=0}b_{i}\prod^{n}_{k=0,k\neq i}(a_{i}-a{k})^{-1}(x-a_{k})
      7. 设 f(x)∈Z[x]f(x)\in Z[x]，f(x)f(x) 可以写成 f(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)h(x)，g(x)，h(x)∈Q[x]g(x)，h(x)\in Q[x]，则存在有理数 rr，使得 rg(x),1rh(x)∈Z[x]rg(x),\frac{1}{r}h(x)\in Z[x]
      8. EisensteinEisenstein 判别法：设 f(x)=a0+⋯+anxn∈Z[x]f(x)=a_{0}+\cdots+a_{n}x^{n}\in Z[x]，pp 为一个素数。若满足：
        • p∤anp\nmid a_{n}
        • p∣ai,i=0,1,⋯ ,n−1p|a_{i},i=0,1,\cdots,n-1
        • pn∤c0p^{n}\nmid c_{0}
          则 f(x)f(x) 在 Z[x]Z[x] 上不可约。（从而在Q[x]上也不可约）
  • 有限域上不可约多项式的判定方法:
    1. 定义
    2. 三次不可约多项式必然没有一次因式/四次不可约多项式必然没有一次因式和二次因式/六次不可约多项式必然没有一次因式、二次因式和三次因式

基于多项式的密钥共享

过程：tt 个门限，nn 个共享者。选取 t−1t-1 次多项式 f(x)f(x)，xi(i=1,…,n)x_{i}(i=1,\dots,n) 计算 f(xi)f(x_{i})，然后将 (xi,f(xi))(x_{i},f(x_{i})) 分发给共享者。任意 tt 个子密钥即可重构出主密钥。

域

素域 单扩张

  • 从环构造域：1. 找有单位元的交换环的极大理想 2. 给定环R，找一个除环/域包含R（每一个无零因子交换环都是一个域的子环）

  • 分式域（商域）：一个域 QQ 叫做环 RR 的一个分式域，假如 R⊂QR\subset Q，并且 QQ 恰好由 ab,(a,b∈R,b≠0)\frac{a}{b},(a,b\in R,b\neq 0) 作成。

    （整环和分式域可以理解为整数与分数的关系）

    • 思考的过程：

      FF 为任意一个域，DD 为 FF 的任一个包含单位元的子环，则 DD 一定是一个整环。

      而考虑整环的分式域，是因为环中不能作除法，需要扩充到域；任意一个域的子环必定交换，而且是无零因子的所以只有子环才能够嵌到域中。

    • 定理：

      1. 设 DD 是一个整环，则 DD 的分式域是包含 DD 的最小的域。

      2. 若 RR 和 R′R' 都是无零因子交换环，QQ 和 Q′Q' 是分别两者的分式域，则 R≃R′R\simeq R' 时，Q≃Q′Q\simeq Q'

        （所以同一个环的商域同构）

  • 扩张：如果 FF 是 EE 的子域，则 EE 叫做 FF 的扩张。（任何一个域都是其子域的扩张）

    • 定理：设 EE 是一个域
      1. 若 CharE=0CharE=0，则 EE 含有一个和有理数域 QQ 同构的子域。
      2. 若 CharE=pCharE=p，则 EE 含有一个和有理数域 Z/(p)Z/(p) 同构的子域。

  • 素域：一个域不含真子域。

    • 如果一个域是素域，则其同构于 QQ 或者 Z/(p)Z/(p)
    • 一个任意域都是一个素域的扩域（但是研究素域的扩域并不比研究一个任意域的扩域来的容易，所以此研究域的普遍方法是：设法决定一个任意域F的所有扩域E）

  • 添加集合 SS 于 FF 所得到的扩张：设 EE 是 FF 的扩张 ,SS 是 EE 的子集，用 F(S)F(S) 表示 EE 中包含 FF 和 SS 的最小子域，并且称 F(S)F(S) 为添加集合 SS 于 FF 所得到的扩张。如果 S={α1,α2,⋯ ,ak}S=\left\{\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,a_{k}\right\}，F(s)F(s) 可以写成 F(α1,α2,⋯ ,ak)F(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,a_{k})

    • 定理：F(S1)(S2)=F(S2)(S1)=F(S1∪S2)F(S_{1})(S_{2})=F(S_{2})(S_{1})=F(S_{1}\cup S_{2})。
    • 单扩张：只添加一个元素到域得到的扩域。

  • 超越元和代数元：F⊂EF\subset E 为域扩张，α∈E\alpha \in E，如果存在 FF 上不全为 00 的元素，a0,a1,⋯ ,ana_{0},a_{1},\cdots,a_{n}，使得 a0+a1α+⋯+anαn=0a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}=0，则称 α\alpha 是 FF 上的一个代数元，或称 α\alpha 在 FF 上代数。否则称为 FF 上的超越元。

    • 若 α\alpha 为代数元，F(α)F(\alpha) 称为 FF 的一个单代数扩域。
    • 若 α\alpha 为超越元，F(α)F(\alpha) 称为 FF 的一个单超越扩域。

  • 单扩域的结构：

    • 若 α\alpha 为代数元，F(α)≃F[x]/(p(x))F(\alpha)\simeq F[x]/(p(x))。这里的 p(x)p(x) 是 F[x]F[x] 上的一个唯一的确定的，最高系数为 11 的不可约多项式，且 p(α)=0p(\alpha)=0。
    • 若 α\alpha 为超越元，F(α)≃F[x]F(\alpha)\simeq F[x] 的分式域。这里的 F[x]F[x] 是 FF 上的一个未定元的多项式环。

  • 极小多项式：F[x]F[x] 中满足 p(a)=0p(a)=0 的次数最低的多项式 p(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a0p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0} 叫做元 α\alpha 在 FF 上的极小多项式，nn 叫做 α\alpha 在 FF 上的次数。

    • 构造 FF 的单代数扩张，实际上就是找域 FF 上的不可约多项式。

单代数扩张

  • 代数扩域（扩张）：一个域的扩域上的每一个元都是原域上的代数元。这个扩域就是代数扩域。

    • 假定 EE 是域 FF 的一个扩域，那么对于 EE 的加法和 FxEFxE 到 EE 的乘法来说，EE 作成 FF 上的一个向量空间

  • nn 次扩张：若 EE 是 FF 的扩张，则 EE 是 FF 上的向量空间。如果 EE 是 FF 的 nn 维向量空间，则称 EE 是 FF 的 nn 次扩张，记为 [E:F]=n[E:F]=n。nn 有限时，称为有限扩张，反之为无限扩张。

  • 扩张次数公式：若 EE 是 FF 的有限扩张，若 KK 是 FF 的有限扩张，则 EE 也是 FF 的有限扩张，且 [E:F]=[E:K][K:F][E:F]=[E:K][K:F]。（可以依此公式扩展得到望远镜公式）

  • 定理：单代数扩张 E=F(α)E=F(\alpha) 是 FF 的一个代数扩域。

    • F(α)F(\alpha) 是域 FF 的一个单代数扩张，而 α\alpha 在 FF 上的极小多项式的次数是 nn，那么 F(α)F(\alpha) 是 FF 的一个 nn 次扩域。
    • 域 FF 的有限扩域一定是 FF 的代数扩域。
    • 一个域上两个代数元的和差积商还是这个域上的代数元。

分裂域

  • 代数闭域：若一个域 EE 上的一元多项式环 E[x]E[x] 的每一个多项式在 E[x]E[x] 中都能分解为一次因式的乘积，则E不再有真正的代数扩域。这样的域称为代数闭域。

    （eg：复数域是代数闭域——代数基本定理）【可以想象成最大的代数扩域】

  • 分裂域：域 FF 的一个扩域 EE 叫做 F[x]F[x] 的 nn 次多项式 f(x)f(x) 在 FF 上的一个分裂域，假如

    1. 在 E[x]E[x] 里 f(x)f(x) 可以分解成一次因式的乘积 f(x)=an(x−α1)(x−α2)⋯(x−αn)(αi∈F)f(x)=a_{n}(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{n})(\alpha_{i}\in F)

    2. 在一个小于 EE 的中间域 I(F⊂I⊂E)I(F\subset I\subset E) 里面，f(x)f(x) 不能这样分解。

      由定义知，EE 是一个使得 f(x)f(x) 能够分解为一次因式的 FF 的最小扩域

      ※：分裂域和 f(x)f(x) 及 FF 都有关。

  • 分裂域的存在性：域 FF 上任意 nn 次多项式都有分裂域。
    ※：即使 f(x)f(x) 和其所在的域 FF 都已经给定，但是 f(x)f(x) 在 FF 上的分裂域并不唯一，它取决于逐步扩张的选择。但是，可以证明，无论以何种次序进行扩张，得到的分裂域都是同构的

有限域

  • 定理：一个有限域 FF 是它的素域的一个单扩域。

    • 推论：有限域的所有非零元在乘法之下构成循环群。这个生成元叫做有限域的本原元。

  • 有限域：只含有限个元素的域。

  • 三大结构定理：

    1. 特征为 pp 的有限域的元素个数一定是 pnp^{n} 形式，这里 nn 是这个域在它素域上的次数。
    2. 设 pp 是任一素数，nn 是任一正整数，则总存在一个恰好含有 pnp^{n} 个元素的有限域。
    3. 令有限域 EE 的特征是 pp，EE 所含素域是 FF，而 EE 有 q=pnq=p^{n} 个元素，则 EE 是多项式 xq−xx^{q}-x 在 FF 上的分裂域。任何两个这样的域都同构。

  • 有限域的子域：设 q=pnq=p^{n}，pp 是素数。

    则 FqF_{q} 的每个子域是 pmp^{m} 个元素的有限域，其中 m∣nm|n。反之，若 m∣nm|n，则 FqF_{q} 包含一个 pmp^{m} 元子域。

分圆域

  • 设 KK 是一个域，nn 是一个正整数。

    1. 多项式 xn−1x^{n}-1 在 KK 上的分裂域称为 KK 上的 nn 次分圆域。记为 K(n)K^{(n)}。
    2. xn−1x^{n}-1 在 K(n)K^{(n)} 上的根称为 KK 上的 nn 次单位根，nn 次单位根全体记为 E(n)E^{(n)}。

  • 定理：设 KK 是一个特征为 pp 的有限域，nn 是一个正整数，则有：

    1. 若 p∤np\nmid n ，则 E(n)E^{(n)} 关于 K(n)K^{(n)} 的乘法构成一个 nn 阶循环群。
    2. 若 p∣np\mid n ，设 n=mpen=mp^{e}，p∤mp\nmid m，则 K(n)=K(m),E(n)=E(m)K^{(n)}=K^{(m)},E^{(n)}=E^{(m)}

  • nn 次本原单位根：设 KK 是一个特征为 pp 的有限域，nn 是一个正整数，p∤np\nmid n ，则 E(n)E^{(n)} 的生成元称为 KK 上的 nn 次本原单位根。

    ※：nn 次本原单位根有 φ(n)\varphi(n) 个

  • 分圆多项式：设 KK 是一个特征为 pp 的有限域，nn 是一个正整数，p∤np\nmid n ，ζ\zeta 是 KK 上一个 nn 次本原单位根，令 Qn(x)=∏(s,n)=1(x−ζs)Q_{n}(x)=\prod_{(s,n)=1}(x-\zeta^{s})。Qn(x)Q_{n}(x) 称为 KK 上的 nn 次分圆多项式。

    ※：degQn(x)=φ(n)degQ_{n}(x)=\varphi(n)

  • 性质：设 KK 是一个特征为 pp 的有限域，nn 是一个正整数，p∤np\nmid n ，则

    1. xn−1=∏d∣nQd(x)x^{n}-1=\prod_{d|n} Q_{d}(x)（可以用来求分圆多项式）
    2. Qn(x)Q_{n}(x) 的系数属于 KK 的素域 ZpZ_{p}。

    此外，若 dd 是 qq 模 nn 的乘法阶，则：

    1. [K(n):K]=d[K^{(n)}:K]=d
    2. Qn(x)Q_{n}(x) 在 KK 上分解为 φ(n)d\frac{\varphi(n)}{d} 个不同的首项系数为1的 dd 次不可约多项式的乘积。

  • 有限域中元素的表示方法

    1. 多项式表示法

      设 q=pnq=p^{n}，则 FqF_{q} 是 FpF_{p} 的 nn 次扩张，所以只要找到一个 nn 次既约多项式 f(x)f(x)，就有 Fq=Fp[x]/(f(x))F_{q}=F_{p}[x]/(f(x))。如果 α\alpha 是 f(x)f(x) 在 Fp[x]/(f(x))F_{p}[x]/(f(x)) 的一个解。

      则 F(α)={a0+a1α+⋯+an−1αn−1∣ai∈Fq}F(\alpha)=\left\{a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}|a_{i}\in F_{q}\right\}

    2. 本原元表示法

      FqF_{q} 的一个本原元是 ζ\zeta，则 Fq={0,ζ,ζ2,⋯ζq−1}F_{q}=\left\{0,\zeta,\zeta^{2},\cdots\zeta^{q-1}\right\}

      这样容易计算乘法，但是不好算加法

    3. 伴随矩阵表示法

大纲
#数学
近世代数大纲
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作者
Mobilis In Mobili
发布于
2020年1月11日
更新于
2022年11月22日
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