本文最后更新于:2021年3月22日 下午
学习近世代数时提炼的大纲,这个在考期整理花费了很多时间,不过考得还不错
近世代数大纲
群
群的定义
群
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二元运算:设A是一个非空集合,A上的一个二元运算记为ab,称为a与b的乘积
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群:设G是一个非空集合,且G上有一个乘法“⋅”,如果满足乘法封闭,结合律,有幺元,有逆元,则称G关于⋅构成一个群,记为(G,⋅)。
- 交换群(Abel群):对于∀a,b∈G,满足ab=ba
- 群阶:G中所含元素的个数,记为∣G∣。
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群元素:由于群元素有结合律,所以可以类比数的运算,定义群的方幂。
- 群元素的阶:G是群,a∈G,满足an=e的最小整数n,并记为o(a)。若n不存在,则记o(a)=0。【可以替代数论中δm(a)】
- 有限群元素的阶必有限;无限群元素的阶可能有限,有可能无限。
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消去律:群G具有左右消去律
- 有限群的两种定义:
- 第一定义:乘法封闭|结合律|有幺元|有逆元
- 第二定义:乘法封闭|结合律|左右消去律
子群
- H是G的子群
- ∀a,b∈H,有ab∈H,b−1∈H
- ∀a,b∈H,,有ab−1∈H(需要验证的工作最少,最常用)
四元数群(Hamilton群)
I,A=⎝⎛i00−i⎠⎞,B=⎝⎛0−110⎠⎞,C=⎝⎛0ii0⎠⎞
H={±I,±A,±B,±C}
性质:四元数的乘法不符合交换律,四元数群是非交换群
群的变换与置换
变换
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一一映射/双射:既满射又是单射
一个从A到A的映射叫做A的一个变换
(为了定义“所有的变换”的集合S构成的群)
定义新的运算:对于∀α,β∈S,定义 α⋅β(x)=α(β(x))
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置换:X为有限集合,从X到X的一一变换叫做置换。X上全体双射变换集合记为T(X)
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在T(X)中可以引入刚才定义的运算,对于∀α,β∈T(X),定义α∘β 为变换α和β的复合。(不一定满足交换)
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变换群:在上述定义的∘下,T(X)构成的群。
对应:单位元——恒等变换 逆元——逆变换
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置换群:X为有限集合,T(X)构成的变换群。若∣X∣=n,则T(X)称为n元对称群。记为Sn。
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n元对称群的大小:n!
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表示记号:⎝⎛1i12i2⋯i⋯⎠⎞
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S3是一个最小的有限非交换群,6阶
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循环置换(轮换):(i1i2⋯ir)轮换,其他元素不动。
- 性质:
- 轮换σ,τ不相交(没有公共元素),则 τσ=στ。
- Sn中任一置换均可以唯一的写成不相交的轮换的乘积。
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对换:只含有两个元素的置换。
群的同态和同构
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同态映射:设G1,G2是两个群(或者只是集合上有运算),若存在f:G1→G2,对于∀a,b∈G1,有f(ab)=f(a)f(b)成立,则f称为同态映射。称G1在G2中的像为G1的同态像。
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同态:若f是满射,则G1和G2同态,记为G1∼G2。
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同态的性质:
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若G1∼G2,G1是群,则G2也是一个群。(G2∼G1不一定,可见同态是有方向的)
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G1∼G2,G1的单位元/a−1的像是G2中对应的单位元和a的像的逆元。
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同构:若f是双射,则G1和G2同构,记为G1≃G2。
含义:在某种意义f下,这两个群是相同的东西。
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凯莱定理(Cayley定理):每一个群都和某一个变换群同构。
含义:每一个抽象的群都可以看成是一个具体的群。
故:任一有限群都同构于一个置换群。
循环群
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定义:由一个群生成的群⟨a⟩={ak∣k∈Z}。a被称为G的一个生成元。
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整数加群:整数加群Z的子群都是由某一非负整数m生成的循环群,对于m,n≥0,nZ⊂mZ,当且仅当m∣n(注意次序)
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定理:
设G=⟨a⟩
- 当o(a)=m时,G={a0,⋯,am−1}——同构于模m的剩余类加群
- 当o(a)=∞时,G={⋯,a−1,e,a1,⋯}——同构于整数加群
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循环群的子群还是循环群(证明方法利用k=dp+r)
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阶数公式:o(a)=n , o(ar)=(r,n)n
- 可以利用阶数公式证明:设G为n阶循环群,m是一个正整数,而且m∣n,则存在唯一一个G的m阶循环子群
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生成元 :G=⟨a⟩,∣G∣=n,则全部生成元为{ak∣(k,n)=1},共φ(n)个。
(生成元的阶一定是n)
- 有限循环群的判定条件:G为有限交换群,对于所有正整数m,在G总满足方程xm=e的元素个数不超过m。
例题:证明G为一有限交换群时,必然G中存在一个元素,它的阶为G中所有元素阶的倍数。
子群的陪集分解
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等价关系∼:自反性,对称性,传递性
集合的划分:将一个集合分割为若干个不相交的子集合
等价关系必有对应划分,划分必有其对应等价关系
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等价类:由等价关系确定的等价类,记为[a],a为代表元
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RH:a∼b当且仅当b−1a∈H
左陪集:H为G的子群,a∈G,则集合aH={ab∣b∈H}称为a关于H的一个左陪集
在RH下,[a]=aH
- G是H在G中所有左陪集的并。
- H在G中的两个左陪集相等或者不相交
- ∀a,b∈G,aH=bH当且仅当a∼b
相似的,可以定义RH′当且仅当ab−1∈H以及右陪集。由于一个群的乘法不一定满足交换律,故两个相等关系不一定相同。
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指数:G关于H左陪集的个数,记作[G:H]
正规子群 群同态
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左陪集构成的集合:G/H={aH∣a∈G}
引入运算:aH⋅bH=abH。为了使运算成立,则满足∀a∈G,aH=Ha。
正规子群
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定义:∀a∈G,aH=Ha,称H是G的正规子群。
※:aH=Ha是两个集合的相等
等价定义:
- 任意两个左(右)陪集之积还是一左(右)陪集
- ∀a∈G,aHa−1=H
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性质:交换群都是正规子群。
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四种等价(其实还是对定义的进一步理解):
- N是G的正规子群
- ∀a∈G,n∈N,有a−1na∈N
- ∀a∈G,有a−1Na⊆N
- ∀a∈G,a−1Na=N
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商群:在G/N上定义运算aH⋅bH=abH构成的群
同态的核
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定义:对于同态σ:G→G′单位元的完全反像σ−1(e′)称为同态σ的核。同态σ的核记为ker(σ)
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性质:同态的核是群G的正规子群,每一个正规子群都是某一个同态的核。
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群同态定理:设σ:G→G′是一个满同态,N是σ的核,则G/N与G′同构。
※:自然同态(f:f(a)=aN)
环
环 子环 多项式环
环的定义
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加群:一个交换群,只不过我们称它的代数运算叫做加法+。
单位元:0 复元:−a 有数乘律
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环:在集合R上定义+和∙两种运算,若R满足下列条件:
- R对+是加群
- R对∙是封闭
- R对∙具有结合律
- 满足左右分配律
则称R关于加法和乘法构成一个环,记作(R,+,∙)
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特殊的环:
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R的乘法满足交换律,称为交换环
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R的乘法有幺元,称为有单位元的环
※:此时在环中有逆元的元素称为可逆元。
- 若∃a,b∈R,a=0,b=0,ab=0,称R为有零因子环。a为左零因子,b为右零因子。反之称为无零因子环。
- 除环:R为由单位元的环,且每个非零元均为可逆元。(此时就能够左右除了)
- 除环中所有非零元素构成的集合在乘法下构成一个群
- 除环是无零因子环
- 域:交换的除环。
eg:数域(有理数/实数/复数)
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特征:无零因子环R的加法群的非零元的阶CharR={0R加法阶为∞加法阶为素数R
子环
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子环/子除环/子整环/子域:环/除环/整环/域的子集,若子集保持父集的运算
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子环的判定:S是环R的非空子集,则S是R的子环的除非必要条件为:∀a,b∈S,a−b∈S,ab∈S
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子除环的判定:S是环R的非空子集,则S是R的子环的除非必要条件为:
- S包含一个不等于零的元
- ∀a,b∈S
- ∀a,b∈S,b=0,ab−1∈S
环同态
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环同态映射:设R,R′是两个环,若存在f:R→R′,对于∀a,b∈R,有f(ab)=f(a)f(b),f(a+b)=f(a)+f(b)成立,则f称为环同态映射。
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环同构:当f为双射时称为同构。
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环同态的性质:
- 零元映射到零元,负元映射到负元。
- 零因子不一定是同态像的零因子
理想
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定义:设(R,+,⋅)是环,I是R的一个子环,如果对∀a∈I,r∈R,均有ra∈I,ar∈I,则称I是R的一个理想。
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平凡理想:0和R。
※:除环只有两个平凡理想
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主理想:由R中一个元素a生成的理想称为主理想,记为(a),则(a)={∑xiayi+sa+at+na∣xi,yi,s,t∈R,n∈Z}(∑是有限和)
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R是交换环时,(a)={sa+at∣s,t∈R}
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R是有单位元的环时,(a)={∑xiayi∣xi,yi∈R}
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R是有单位元的交换环时,(a)={ra∣r∈R}
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定理:整数环Z中任一理想都是主理想。(仿照k=rq+r的证明)
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商环:在加法商群R/I上定义乘法(x+I)+(y+I)=(x+y)+I,(x+I)(y+I)=(xy)+I,则得到R/I构成的环。
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环同态基本定理:设f:R→R′是一个满同态,则f的核是R的理想,则G/Ker(f)与G′同构。
※:自然同态(f:f(a)=a+I)
多项式
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p元伽罗瓦域:设素数p,设Fp={0,1,⋯,p−1}为整数集,设f:Z/(p)→Fp定义为f([a])=a对a=0,1,⋯,p−1。则Fp在f的诱导下称为一个域,即p元伽罗瓦域。
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F[x]中任一理想都是主理想,其形式为g(x)+(f(x)),其中g(x)的最高项次数不高于degf(x)
两种特殊的理想:
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素理想:设P是环R的一个理想,若∀a,b∈R且ab∈P,都有a∈P或者b∈P,则P是素理想。
eg:整数环中,素数p生成的理想
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极大理想:一个环R的一个不等于R的理想I,除了R和I以外没有包含I的理想。
eg:整数环中,素数p生成的理想
- 定理:有单位元的交换环必有极大理想。
- 有单位元的交换环的极大理想必是素理想
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重要定理:设R是有单位元的交换环,I是其理想
- 若I是素理想,则R/I 是一个整环;
- 若I是极大理想,则R/I 是一个域。(这样,我们就能够构造域了)
(充分必要)
多项式的性质
- 可约多项式:设f(x)∈F[x],f(x)可以写成f(x)=g(x)h(x)。
- 利用不可约多项式构造域:设F[x]是域F上一个一元多项式环,f(x)∈F[x]是一个次数不大于零的不可约多项式,则(f(x))是F[x]的极大理想,从而F[x]/(f(x))是一个域。
- 根:令多项式的值等于0的自变量取值。
- 推论:
- f(x)∈F[x],则c是f(x)的根当且仅当(x−c)∣f(x)。
- c是f(x)的r重根,则c是f′(x)的r−1重根。
- 若(f(x),f′(x))=1,则f(x)没有重根。
- n次多项式f(x)∈F[x]不同根c∈F的个数最多为n。
- f(x),g(x)∈F[x],若有n+1个元素ci,使得f(c_{i})=g(c_{i}),则f(x)=g(x)。
- Lagrange插值公式:给出n+1个ai,bi,存在一个次数不超过n的多项式f(x)满足f(a1)=bi。此时f(x)=∑i=0nbi∏k=0,k=in(ai−ak)−1(x−ak)
- 设f(x)∈Z[x],f(x)可以写成f(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)∈Q[x],则存在有理数r,使得rg(x),r1h(x)∈Z[x]
- Eisenstein判别法:设f(x)=a0+⋯+anxn∈Z[x],p为一个素数。若满足:
- p∤an
- p∣ai,i=0,1,⋯,n−1
- pn∤c0
则f(x)在Z[x]上不可约。(从而在Q[x]上也不可约)
- 有限域上不可约多项式的判定方法:
- 定义
- 三次不可约多项式必然没有一次因式/四次不可约多项式必然没有一次因式和二次因式/六次不可约多项式必然没有一次因式、二次因式和三次因式
基于多项式的密钥共享
过程:t个门限,n个共享者。选取 t−1 次多项式f(x),xi(i=1,…,n) 计算 f(xi),然后将 (xi,f(xi)) 分发给共享者。任意 t 个子密钥即可重构出主密钥。
域
素域 单扩张
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从环构造域:1. 找有单位元的交换环的极大理想 2. 给定环R,找一个除环/域包含R(每一个无零因子交换环都是一个域的子环)
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分式域(商域):一个域Q叫做环R的一个分式域,假如R⊂Q,并且Q恰好由ba,(a,b∈R,b=0)作成。
(整环和分式域可以理解为整数与分数的关系)
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扩张:如果F是E的子域,则E叫做F的扩张。(任何一个域都是其子域的扩张)
- 定理:设E是一个域
- 若CharE=0,则E含有一个和有理数域Q同构的子域。
- 若CharE=p,则E含有一个和有理数域Z/(p)同构的子域。
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素域:一个域不含真子域。
- 如果一个域是素域,则其同构于Q或者Z/(p)
- 一个任意域都是一个素域的扩域(但是研究素域的扩域并不比研究一个任意域的扩域来的容易,所以此研究域的普遍方法是:设法决定一个任意域F的所有扩域E)
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添加集合S于F所得到的扩张:设E是F的扩张 ,S是E的子集,用F(S)表示E中包含F和S的最小子域,并且称 F(S)为添加集合S于F所得到的扩张。如果S={α1,α2,⋯,ak},F(s)可以写成F(α1,α2,⋯,ak)
- 定理:F(S1)(S2)=F(S2)(S1)=F(S1∪S2)。
- 单扩张:只添加一个元素到域得到的扩域。
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超越元和代数元:F⊂E为域扩张,α∈E,如果存在F上不全为0的元素,a0,a1,⋯,an,使得a0+a1α+⋯+anαn=0,则称α是F上的一个代数元,或称α在F上代数。否则称为F上的超越元。
- 若α为代数元,F(α)称为F的一个单代数扩域。
- 若α为超越元,F(α)称为F的一个单超越扩域。
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单扩域的结构:
- 若α为代数元,F(α)≃F[x]/(p(x))。这里的p(x)是F[x]上的一个唯一的确定的,最高系数为1的不可约多项式,且p(α)=0。
- 若α为超越元,F(α)≃F[x] 的分式域。这里的F[x]是F上的一个未定元的多项式环。
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极小多项式:F[x]中满足p(a)=0的次数最低的多项式p(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a0叫做元α在F上的极小多项式,n叫做α在F上的次数。
- 构造F的单代数扩张,实际上就是找域F上的不可约多项式。
单代数扩张
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代数扩域(扩张):一个域的扩域上的每一个元都是原域上的代数元。这个扩域就是代数扩域。
- 假定E是域F的一个扩域,那么对于E的加法和FxE到E的乘法来说,E作成F上的一个向量空间
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n次扩张:若E是F的扩张,则E是F上的向量空间。如果E是F的n维向量空间,则称E是F的n次扩张,记为[E:F]=n。n有限时,称为有限扩张,反之为无限扩张。
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扩张次数公式:若E是F的有限扩张,若K是F的有限扩张,则E也是F的有限扩张,且[E:F]=[E:K][K:F]。(可以依此公式扩展得到望远镜公式)
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定理:单代数扩张E=F(α)是F的一个代数扩域。
- F(α)是域F的一个单代数扩张,而α在F上的极小多项式的次数是n,那么F(α)是F的一个n次扩域。
- 域F的有限扩域一定是F的代数扩域。
- 一个域上两个代数元的和差积商还是这个域上的代数元。
分裂域
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代数闭域:若一个域E上的一元多项式环E[x]的每一个多项式在E[x]中都能分解为一次因式的乘积,则E不再有真正的代数扩域。这样的域称为代数闭域。
(eg:复数域是代数闭域——代数基本定理)【可以想象成最大的代数扩域】
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分裂域:域F的一个扩域E叫做F[x]的n次多项式f(x)在F上的一个分裂域,假如
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在E[x]里f(x)可以分解成一次因式的乘积 f(x)=an(x−α1)(x−α2)⋯(x−αn)(αi∈F)
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在一个小于E的中间域I(F⊂I⊂E)里面,f(x)不能这样分解。
由定义知,E是一个使得f(x)能够分解为一次因式的 F的最小扩域
※:分裂域和f(x)及F都有关。
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分裂域的存在性:域F上任意n次多项式都有分裂域。
※:即使f(x)和其所在的域F都已经给定,但是f(x)在F上的分裂域并不唯一,它取决于逐步扩张的选择。但是,可以证明,无论以何种次序进行扩张,得到的分裂域都是同构的
有限域
分圆域
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设K是一个域,n是一个正整数。
- 多项式xn−1在K上的分裂域称为K上的n次分圆域。记为K(n)。
- xn−1在K(n)上的根称为K上的n次单位根,n次单位根全体记为E(n)。
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定理:设K是一个特征为p的有限域,n是一个正整数,则有:
- 若p∤n ,则E(n)关于K(n)的乘法构成一个n阶循环群。
- 若p∣n ,设n=mpe,p∤m,则K(n)=K(m),E(n)=E(m)
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n次本原单位根:设K是一个特征为p的有限域,n是一个正整数,p∤n ,则E(n)的生成元称为K上的n次本原单位根。
※:n次本原单位根有φ(n)个
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分圆多项式:设K是一个特征为p的有限域,n是一个正整数,p∤n ,ζ是K上一个n次本原单位根,令Qn(x)=∏(s,n)=1(x−ζs)。Qn(x)称为K上的n次分圆多项式。
※:degQn(x)=φ(n)
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性质:设K是一个特征为p的有限域,n是一个正整数,p∤n ,则
- xn−1=∏d∣nQd(x)(可以用来求分圆多项式)
- Qn(x)的系数属于K的素域Zp。
此外,若d是q模n的乘法阶,则:
- [K(n):K]=d
- Qn(x)在K上分解为dφ(n)个不同的首项系数为1的d次不可约多项式的乘积。
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有限域中元素的表示方法
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多项式表示法
设q=pn,则Fq是Fp的n次扩张,所以只要找到一个n次既约多项式f(x),就有Fq=Fp[x]/(f(x))。如果α是f(x)在Fp[x]/(f(x))的一个解。
则F(α)={a0+a1α+⋯+an−1αn−1∣ai∈Fq}
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本原元表示法
Fq 的一个本原元是ζ,则Fq={0,ζ,ζ2,⋯ζq−1}
这样容易计算乘法,但是不好算加法
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伴随矩阵表示法