线性代数大纲

本文最后更新于:2021年3月22日 下午

从头再来的整理,自我感觉总结得还是比较全面的

线性代数大纲

向量代数与空间几何初步

向量代数

向量及其表示

  • 矢量、标量

    • 向量的表示
    • 向量相等:模、方向
    • 单位向量、自由向量
    • 向量的平行、共线、共面
  • 向量的运算

    • 加法
      • 三角形法则
        • 向量不等式:a±ba+b|a\pm b|\leq|a|+|b|
        • 交换律,结合律
    • 数乘
      • 分配律、结合律
      • 共线定理:aabb 共线等价于 a=kba =kb
        • 线性相关(共线)、线性无关(不共线)
  • 正交标架与向量坐标

    • 右手规则
  • 卦限:在 zz 轴下方的是在 zz 轴上方卦限 +4

    • 向径:ow\vec{ow}

      • 向径公式:坐标分解式 r=xi+yj+zk\vec r=x\vec i+y\vec j+z\vec k
      • 投影向量:xix\vec{i}yjy\vec{j}zkz\vec{k}
      • 向量坐标:(x,y,z)(x,y,z)
        • 共线:相应坐标成比例
      • 点分公式:AM=λMB\vec{AM}=\lambda \vec{MB}MMAB\vec {AB} 上,则 OM=OA+λOB1+λ\vec{OM}=\frac{\vec{OA}+\lambda\vec{OB}}{1+\lambda}
    • 模与方向角

      • 方向余弦:(cosα,cosβ,cosγ)=(xa,ya,za)=aa=a0(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\left(\frac{x}{|a|}, \frac{y}{|a|}, \frac{z}{|a|}\right)=\frac{a}{|a|}=a^{0}
        • 余弦公式:cos2α+cos2β+cos2γ=1\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1
    • 向量在轴上的投影

      • 投影向量
      • 投影(数):Prjua=λ,\operatorname{Prj}_{u} \boldsymbol{a}=\lambda, 或记 (a)u=λ(\boldsymbol{a})_{u}=\lambda
      • 向量的投影具有下列性质:(设 φ\varphi 为向量 a\boldsymbol{a}uu 轴的夹角 )
        1. (a)u=acosφ((\boldsymbol{a})_{u}=|\boldsymbol{a} | \cos \varphi \quad\left(\right.Prjua=acosφ)\left.\operatorname{Prj}_{u} \boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}| \cos \varphi\right)

        2. (a+b)u=(a)u+(b)u(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})_{u}=(\boldsymbol{a})_{u}+(\boldsymbol{b})_{u}

        3. (λa)u=λ(a)u(\lambda \boldsymbol{a})_{u}=\lambda(\boldsymbol{a})_{u}

  • 向量内积:ab=abcosθ\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta

    • b0b \neq 0 时, a\boldsymbol ab\boldsymbol b 上的投影为(a)b=acosθ=abb(\boldsymbol{a})_{\boldsymbol{b}}=|\boldsymbol{a}| \cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}
  • 垂直条件:abab=0\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}\Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0

    • 正交分解:设 v0,\boldsymbol{v} \neq \overrightarrow{0}, 任一向量 a\boldsymbol{a} 有正交分解a=kv+a,av\boldsymbol{a}=k \boldsymbol{v}+\boldsymbol{a}^{\prime}, \quad \boldsymbol{a}^{\prime} \perp \boldsymbol{v}
    • aa=a2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}={|\boldsymbol{a}|}^{2}a±b2=a2+b2±2ab{|\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}|}^{2}={|\boldsymbol{a}|}^{2}+{|\boldsymbol{b}|}^{2} \pm 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}
    • 坐标运算:ab=a1b1+a2b2+a3b3\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}
      • 垂直、求余弦角
  • 向量外积

    • 方向:右手定则

    • 模:a×b=absinθ,θ=(a,b)|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}| \sin \theta, \quad \theta=\angle(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})a,b\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} 的夹角

      • 等于以 a\boldsymbol a, b\boldsymbol b 为邻边的平行四边形面积
    • 反交换性b×a=a×b\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}=-\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}

    • 叉乘的坐标公式:a×b=(a2a3b2b3,a1a3b1b3,a1a2b1b2)\boldsymbol a\times \boldsymbol b=(\begin{vmatrix} a_2&a_3 \\ b_2&b_3 \end{vmatrix},-\begin{vmatrix} a_1&a_3 \\ b_1&b_3 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} a_1 & a_2\\ b_1 &b_2 \end{vmatrix})

  • 混合积:(a,b,c)=(a×b)c=a1a2a3b1b2b3c1c2c3(\boldsymbol a,\boldsymbol b, \boldsymbol c)=(\boldsymbol a \times \boldsymbol b)\cdot \boldsymbol c=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3 \\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}

    • 其绝对值等于以 a,b,c\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c 为棱的平行六面体

    • {a,b,c}\{\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c\} 组成右手系时为正,反之为负

    • (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)(\boldsymbol a,\boldsymbol b, \boldsymbol c)=(\boldsymbol b, \boldsymbol c,\boldsymbol a)=(\boldsymbol c,\boldsymbol a, \boldsymbol b)

    • 双重外积公式:

      (a×b)×c=(ac)b(bc)a(\boldsymbol a \times \boldsymbol b)\times \boldsymbol c =(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)\boldsymbol b -(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c )\boldsymbol a

      a×(b×c)=(ac)b(ab)c\boldsymbol a \times(\boldsymbol b \times \boldsymbol c)=(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)\boldsymbol b - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b )\boldsymbol c

空间平面与直线

平面及其方程

平面的点法式方程
  • P(x,y,z)P(x, y, z) 是平面 π\pi 上任一点。那么向量 P0P\vec{P}_{0} \vec{P} 与法向量 nn 必垂直 (nP0P),\left(n \perp \overline{P_{0} P}\right), 于是它们的内积等于零:

nP0P=0n \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=0

​ 由于 n=(A,B,C),P0P=(xx0,yy0,zz0),n=(A, B, C), \quad \overrightarrow{P_{0} P}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), \quad 则有

A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0

​ 这就是平面 π\pi 上任一点 PP 的坐标 (x,y,z)(x, y, z) 所满足的方程。

平面的一般方程
  • Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0

    • (A,B,C)(A,B,C) 是平面法向量,利用这一点可以判断平面方程特性
  • 特殊的

    • 截距式方程:xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1a,b,ca,b,c 叫做平面在 x,y,zx, y, z 轴上的截距
    • 三点式方程:xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z1x3x1y3y1z3z1=0\left|\begin{array}{ccc}x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1}\end{array}\right|=0
两平面的夹角
  • 设平面 Π1\Pi_{1}Π2\Pi_{2} 的法线向量依次为 n1=(A1,B1,C1)n_{1}=\left(A_{1}, B_{1}, C_{1}\right)n2=(A2,B2,C2),n_{2}=\left(A_{2}, B_{2}, C_{2}\right), 那么两平面的夹角 θ\theta 公式为

    cosθ=A1A2+B1B2+C1C2A12+B12+C12A22+B22+C22\cos \theta=\frac{\left|A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}\right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}

  • 点到平面的距离:d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}

空间直线方程

空间直线的一般方程
  • {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\left\{\begin{array}{l}A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0\end{array}\right.
  • 可以看成是两个平面的交线
直线的对称方程与参数方程
  • 平行向量:如果一个非零向量 s 平行于一条已知直线 L ,这个向量就叫做这直线的方向
    向量

    • s 的坐标叫做该直线的一组方向数,s 的方向余弦叫做这直线的方向余弦
  • 对称式方程/点向式方程:xx0m=yy0n=zz0p\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p},其中参数出自直线 LL 上一点 M(x0,y0,z0)M(x_0,y_0,z_0) 和它的一方向向量 s=(m,n,p)s=(m,n,p)

  • 参数方程:{x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+m t \\ y=y_{0}+n t \\ z=z_{0}+p t\end{array}\right.

两直线的夹角
  • 设直线的方向向量为 s1=(m1,n1,p1)s_1=(m_1,n_1,p_1)s2=(m2,n2,p2)s_2=(m_2,n_2,p_2) ,那么两直线的夹角公式为:

cosφ=m1m2+n1n2+p1p2m12+n12+p12m22+n22+p22\cos \varphi=\frac{\left|m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}+p_{1} p_{2}\right|}{\sqrt{m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}} \sqrt{m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}}

  • 直线与平面的夹角

  • 设直线的方向为 s=(m,n,p)s = (m,n, p),平面的法线向量为 n=(A,B,C)n = (A,B,C),那么两直线的夹角公式为**(注意是 sin)**

sinφ=Am+Bn+CpA2+B2+C2m2+n2+p2\sin \varphi=\frac{|A m+B n+C p|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}

两直线的公垂线方程求法:
  • 由两直线 L1L_1,L2L_2 的方向向量叉乘可得公垂线的方向向量
  • 由公垂线的方向向量和 L1L_1 的方向向量以及 L1L_1上一点可得过公垂线和 L1L_1 的平面方程 S1S_1;由公垂线的方向向量和 L2L_2 的方向向量以及 L2L_2上一点可得过公垂线和 L2L_2 的平面方程 S2S_2
  • S1S_1S2S_2 组成的方程组即是公垂线方程

平面束方程

  • 设直线 LL 由方程组

{Ax+By+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 \left\{\begin{array}{l} A x+B y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 \end{array}\right.

确定,其中系数 A1,B1,C1A_{1}, B_{1}, C_{1}A2,B2,C2A_{2}, B_{2}, C_{2} 不成比例. 我们建立三元一次方程
A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}+\lambda\left(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}\right)=0
这就是通过直线 LL 的平面束的方程,但是不能表示 A2x+B2y+C2z+D2=0A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 这个平面

曲面

  • 曲面方程:曲面上的点坐标都满足方程,不在曲面上的点坐标都不满足方程

旋转曲面

  • 旋转曲面:以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面

    • 母线:旋转曲线
    • 轴:定直线
  • 设在 yOzy O z 坐标面上有一已知曲线 CC ,它的方程为:f(y,z)=0f(y, z)=0
    把这曲线绕 zz 轴旋转一周,就得到一个以 zz 轴为轴的旋转曲面 ,它的方程可以求得如下:

    1. M1(0,y1,z1)M_{1}\left(0, y_{1}, z_{1}\right) 为曲线 CC 上的任一点则 f(y1,z1)=0f\left(y_{1}, z_{1}\right)=0
    2. 当曲线 CCzz 轴旋转时, 点 M1M_{1}zz 轴转到另一点 M(x,y,z),M(x, y, z), 这时 z=z1z=z_{1} 保持不交,且点 MMzz 轴的距离为 d=x2+y2=y1d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left|y_{1}\right|
    3. z1=z,y1=±x2+y2z_{1}=z, \quad y_{1}=\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}} 代入 (3) 式, 有 f(±x2+y2,z)=0f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0
      这就是旋转曲面的方程。
  • 圆锥面:直线 LL 绕另一条与 LL 相交的直线旋转一周,所得旋转曲面

    • 顶点:两直线的交点
    • 半顶角:两直线的夹角 0<α<π20<\alpha<\frac{\pi}{2}
  • 旋转单叶双曲面:双曲线绕 zz 轴旋转

  • 旋转双叶双曲面:双曲线绕 xx 轴旋转

柱面

  • 柱面:平行于定直线 l0l_0 并沿定曲线 CC 移动的直线 LL 形成的轨迹
    • 准线:曲线 CC
    • 母线:动直线 l0l_0
    • 一般地,只含 x,yx,y 而缺 zz 的方程 F(x,y)=0F ( x, y)= 0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 zz 轴的柱面,其准线是 xOyxOy 面上的曲线C:F(x,y)=0C:F(x, y)=0

二次曲面

  • 二次曲面:F(x,y,z)=0F(x, y,z)=0 所表示的曲面

  • 基本研究方法:截痕法

  • 基本类型

    1. 椭球面:x2a2+y2b2+z2c2=1(a,b,c>0)\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad(a, b, c>0)

    2. 抛物面

      • (1) 椭圆拋物面:x22p+y22q=z(p,q>0)\frac{x^{2}}{2 p}+\frac{y^{2}}{2 q}=z \quad(p, q>0)

        (2) 双曲抛物面 ( 鞍形曲面 ):x22p+y22q=z(p,q>0)-\frac{x^{2}}{2 p}+\frac{y^{2}}{2 q}=z\quad(p, q>0)

    3. 双曲面

      • 单叶双曲面:x2a2+y2b2z2c2=1(a,b,c>0)\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad(a, b, c>0)
      • 双叶双曲面:x2a2+y2b2+z2c2=1(a,b,c>0)\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \quad(a, b, c>0)
    4. 椭圆锥面:x2a2+y2b2=z2(a,b>0)\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^2 \quad(a, b>0)

曲线

空间曲线的一般方程

  • 空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组 {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\left\{\begin {array} {l}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0 \end{array}\right.

空间曲线的参数方程

  • 将曲线 CC 上的动点坐标 x,y,zx, y, z 表示成参数 tt 的函数:{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\left\{\begin{array}{l}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t) \end{array}\right.
    称它为空间曲线的参数方程.

空间曲线在坐标面上的投影

  • 以曲线 CC 为准线、母线平行于 zz 轴(即垂直于 xOyxOy面)的柱面叫做曲线CC 关于 xOyxOy 面的投影柱面;投影柱面与 xOyxOy 面的交线叫做空间曲线 CCxOyxOy 面上的投影曲线, 简称投影

  • 方法:

{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0 \left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.

​ 消去变量 zz 后所得的方程

H(x,y)=0 H(x, y)=0

​ 则在 xOyxOy 面上的投影是: {H(x,y)=0z=0\left\{\begin {array} {l}H(x,y)=0\\z=0 \end{array}\right.

线性方程组的解法

  • 行向量、列向量

    • 内积
      • 正交
  • 矩阵的引入

    • 线性方程组

      • 矩阵:系数
      • 增广矩阵:系数+常数项
    • 矩阵:A=Am×n=(aij)m×n=(aij)A=A_{m\times n}=(a_{ij})_{m\times n}=(a_{ij})

      • 元:aija_{ij}

        • 元为实(复)数——实(复)矩阵
      • 主对角线、副对角线

      • 特殊矩阵

        • 方阵:m=nm=n

        • 行矩阵、列矩阵

        • 对角矩阵:仅主对角线元不为 0,记作 diag(λ1,λ2,,λn)diag(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)

        • 零矩阵

        • 单位矩阵

        • 同型矩阵:两矩阵行列数相等

          • 相等=同型矩阵+所有元相等
  • 矩阵解线性方程组

    • LS 公式:将 AXAX 变换为矩阵之积
  • 矩阵的行变换

    1. 互换两行 rirjr_i\leftrightarrow r_j
    2. k0k\neq0 乘以某一行所有元素 rikr_i*k
    3. 把某一个行的 kk 倍加到另一行上 ri+krjr_i+kr_j
  • 等价 \sim:反身性、对称性、传递性

    • 有限初等行变换所得矩阵等价
  • LS 消元法

    1. 由线性方程组得到增广矩阵
    2. 增广矩阵经过初等行变换变成最简阶梯形矩阵
    3. 最简阶梯形矩阵可变换为标准形,从而得到解或通解(解空间)

方程有解问题

  • 通过 LS 消元法可以获得最简阶梯形矩阵,假设未知数个数为 nn,方程个数为 mm最后 mrm-r 行为 0,即总共 rr 行不为 0,剩下的方程个数为 s(sr)s(s\geq r);

    • s>rs>r:有矛盾方程,无解
    • s=rs=r:有解
      • r=nr=n,具有唯一解
      • r<nr<n,有 rr 个非独立未知元,nrn-r 个独立未知元(自由参数)
        • 解的表示:将非独立未知元用独立未知元表示
  • 齐次定理:若未知元个数 nn 大于方程个数 mm, 则齐次组 AX=0AX=0 有非零解(有无穷多)。即, 若 n>mn > m, 则 AX=0AX=0 必有非零解。

数域

  • 数域:PP 是复数集,且对加减乘除封闭

    • 有理数域是最小的数域,被所有数域包含
  • 数环:PP 是复数集,且对加减乘封闭

  • 更多抽代的内容可以在这里找到:近世代数大纲

向量空间

  • 矩阵的加法:对应元相加
  • 矩阵的数乘:每一元都乘以系数
  • 矩阵的转置:aijajia_{ij} \leftrightarrow a_{ji}

线性相关与线性无关

  • 线性相关:对 FnF^nkk 个向量 a1,,akFna_1,\dots,a_k\in F^n,如果存在不全为 0 的数 x1,,xkx_1,\dots,x_k 满足条件 x1a1++xkak=0x_1a_1+\dots+x_ka_k=0,就称 {a1,,ak}\left\{a_1,\dots,a_k\right\} 线性相关。
  • 如果不是线性相关,就是线性不相关
  • 线性相关等价于:其中某个向量可以表示为其余向量的线性组合
  • 单边法则:设 a1,,ak(a10)a_1,\dots,a_k(a_1\neq0)
    • 如果每个 aja_j 都不被它前面的向量线性组合表示,那么 {a1,,ak}\left\{a_1,\dots,a_k\right\} 线性无关
    • {a1,,ak}\left\{a_1,\dots,a_k\right\} 线性相关,则必存在 jnj\leq n 使 aja_j 能够被之前的向量线性组合表示
  • 多一法则:若 {a1,,an}\left\{a_1,\dots,a_n\right\} 线性无关,{a1,,an,b}\left \{ a_1,\dots,a_n,b\right\} 线性相关,则 bb 可以用 a1,ana_1\dots,a_n 表示
  • 长短法则:长相关则短相关;短无关则长无关
    • 这里的长短是各个向量维数的扩充
  • 大数法则:若 pp 个向量 {a1,,ap}\left\{a_1,\dots,a_p\right\} 可由 tt 个向量 {b1,,bt}\left\{b_1,\dots,b_t\right\} 表示,且 p>tp > t , 则 {a1,,ap}\left\{a_1,\dots,a_p\right\} 必线性相关

通过解方程组判断线性相关

  • 向量 a1,,ana_1,\dots,a_n 线性相关的充分必要条件是,方程 x1a1++xnan=0x_1a_1+\cdots+x_na_n=0 有非零解
  • 向量 a1,,ana_1,\dots,a_n 线性无关的充分必要条件是,方程 x1a1++xnan=0x_1a_1+\cdots+x_na_n=0 有唯一解 (0,,0)(0,\dots,0)

  • 基:如果 TTFnF^n 的一个向量组 {a1,a2,,an}\left\{a_1,a_2,\dots,a_n\right\},能够通过唯一线性组合 xiai=b\sum x_ia_i=b 表示 FNF^N 中的任何一个向量,就称 TTFnF_n 的一组基
    • 基是对于空间而言的
    • 坐标:线性组合系数 (x1,x2,,xn)(x_1,x_2,\dots,x_n)
    • 自然基:{e1,e2,,en}\left\{e_1,e_2,\dots,e_n\right\}
    • 判定定理:FnF^n 中的向量组 SS 是基     \iff 中有 nn 个线性无关向量

判定线性方程组唯一解

  • 方程 AX=bAX=b 有唯一解     \iff 方程 AX=0AX=0 有唯一解
    • 此时 AA 的列向量组构成一组基

基变换与坐标变化变换

  • 基变换公式:设向量组 α1,α2,,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}β1,β2,,βn\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n}nn 维向量空间 VV 的两个基,若它们之间的关系可表示为

    (β1,β2,,βn)=(α1,α2,,αn)C\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right) C

    其中 C=(cij)m×n\boldsymbol{C}=\left(c_{i j}\right)_{m \times n}, 则称矩阵 C\boldsymbol{C} 为从基 α1,α2,,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n} 到基 β1,β2,,βn\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n} 的过渡矩阵。此式为基变换公式。

  • 坐标变换公式:设向量组 α1,α2,,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}β1,β2,,βn\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n}nn 维向量空间 VV 的两个基,由 α1,α2,,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}β1,β2,,βn\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n} 的过渡矩阵为 CC,若 VV 中的任意元素在这两组基下的坐标为 (x1,x2,,xn)T(x_1,x_2,\dots,x_n)^T(y1,y2,,yn)T(y_1,y_2,\dots,y_n)^T ,则

    (x1,x2,,xn)T=C(y1,y2,,yn)T\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)^T=C\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)^T

    • 1 号基到 2 号基的过渡矩阵就是 2 号基到 1 号基的坐标阵(重在理解,不要死记硬背)

极大线性无关组

  • 设向量组 SSPP 个向量 {α1,α2,,αp}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{p}\right\} 满足条件:

    1. {α1,α2,,αn}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\} 线性无关
    2. βS,{α1,α2,,αp,β}\forall \boldsymbol{\beta}\in S, \left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{p},\boldsymbol{\beta}\right\} 线性相关

    则称 {α1,α2,,αp}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{p}\right\}SS 中的一个极大无关组

    • pp 叫做 SS 的秩 Rank
    • 极大线性无关组是对于向量组而言的
  • 性质

    1. 大组 SS 中的任一向量都可以由极大组唯一表示(多 1 法则)
    2. 两个极大无关组可以相互表示
    3. 任意两个极大组含有相同的向量个数
    4. AA 中向量可以被 BB 中向量表示,则 rankArankBrank A\leq rankB
  • 同解定理:对方程组 AX=bAX=b 经过行变换得到 BX=dBX=d,则两者同解,而且 α1,α2,,αn\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}β1,β2,,βn\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n}极大组的位置是一一对应的

    • 行变不改变相关性和无关性
  • 向量组秩/极大线性无关组的求法:初等行变换

  • nn 维空间 VV 中的任意线性无关子集 SS 可以扩充为 VV 的基:设 BBVV 的一组基,求出 SBS\cup B 的极大线性无关组即可

子空间

  • VV 是数域 FF 上的向量空间,VV 的非空子集 WW 如果满足 WW 对加法和数乘封闭,就称 WWFnF^n 的子空间

    • 子空间的线性无关向量的最大个数是 WW 的维数,记作 dimW\dim W
  • 子集生成的子空间:由数域 FF 上向量空间 VV 的子集 SS全体线性组合产生的子空间,记为 L(S)L(S)

    • dimL(S)=rankS\dim L(S) =rank S
  • 解空间:齐次线性方程组 AX=0AX=0 的解集

    • dimVA=nrankA\dim V_A=n-rankA,即通解中可以自由取值的未知数个数
    • 解空间的一组基称为这个方程的一个基础解系
  • 非齐次线性方程组 AX=bAX=b 有解rankA=rank(A,b)rankA=rank(A,b)

    • 此时的解为:AX=bAX=b 的一个解 X1X_1AX=0AX=0 的解空间

子空间的交与和

  • 子空间的交:对于方程组的解空间而言,可以理解为方程联立再求解空间

    • 子空间的交仍然是子空间
  • 子空间的和:W1+W2={w1,+w2w1W1,w2W2}W_1+W_2=\left\{w_1,+w_2|w_1\in W_1,w_2\in W_2\right\}

    • 可以理解为求 W1W_1W2W_2基的集合的基
    • dim(W1+W2)=dimW1+dimW2dim(W1W2)\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2)
  • 下列命题等价:

    1. W1W2={0}W_1\cap W_2=\left\{0\right\}
    2. dim(W1+W2)=dimW1+dimW2\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2
    3. 每个 w=w1+w2w=w_1+w_2ww 唯一确定
    4. w1+w2=0w_1+w_2=0 等价于 w1=w2=0w_1=w_2=0
      满足命题的 W1+W2W_1+W_2 称为直和,记作 W1W2W_1\oplus W_2

行列式

  • det(A)=A=a11a12a1na21a22a2nan1an2anndet(A)=|A|=\left|\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|
    =(1)t(p1p2pn)ap11ap22apnn=\sum(-1)^{t\left(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}\right)} a_{p_{1} 1} a_{p_{2} 2} \cdots a_{p_{n} n}
  • 三角公式:a11a12a1n0a22a2n00ann=a11a22ann\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}
  • 行列式的性质
    • AT=A|A^T|=|A|
    • 如果用同一个数 k 乘行列式中一行/列的各元素,等于用 k 乘这个 行列式
    • 如果行列式中一行/列的所有元素全为 0,则行列式为 0
    • 如果两行(列)互换,那么行列式变号
    • 分项公式
    • 倍加公式:行列式值不变
  • Vandermonde 行列式

矩阵的代数运算

矩阵运算的定义与运算律

矩阵运算的定义

  • 线性运算

    • 加法:行数、列数相等
    • 数乘:每个元都需要乘常数
  • 乘法 ABAB:** AA 的列数和 BB 的行数相等**

    • (i,j)(i,j) 元等于 AA 的第 ii 行与 B 的第 jj 列之积
    • 不满足交换律、消去律
  • 零矩阵 OO:所有元素都为 0,相当于 0

  • 分块矩阵:把矩阵中的元素划分为一个个块,把块当成矩阵的元素

    • 分块矩阵的初等变换
      • 行变换时,左乘系数矩阵;列变换时,右乘系数矩阵
  • 迹:一个n×n矩阵A的主对角线上各个元素的总和,记作 tr(A)tr(A)l

乘法矩阵运算律

  • 单位矩阵 II:相当于 1
  • 对加法的分配律,对数乘的结合律
  • 乘法结合律
    • 错位结合

转置和共轭

  • 转置:ATA^T 的第 (i,j)(i,j) 元 相当于 AA 的第 (j,i)(j,i)

    • 性质:
      • (AT)T=A(A^T)^T=A
      • (A+B)T=AT+AT(A+B)^T=A^T+A^T
      • (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T
    • 对称:
      • 对称方阵:AT=AA^T=A
      • 反对称方阵:AT=AA^T=-A
  • 共轭 Aˉ\bar A:矩阵的每个元换成它的共轭复数

  • AHA^H(另一种表达是 AA^*,但是和伴随矩阵不一样):AˉT{\bar A}^T

    • AH=AA^H=A:埃尔米特方阵
    • AH=AA^H=-A:斜埃尔米特方阵

逆矩阵

  • 矩阵的逆 A1A^{-1}A1A=AA1=IA^{-1}A=AA^{-1}=I
    • 判定:AA 可逆 \Leftrightarrow A0|A|\neq 0
    • 性质
      • A11=A{A^{-1}}^{-1}=A
      • (AB)1=B1A1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
      • (AT)1=(A1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T
    • 算法
      • 求矩阵 AX=BAX=B 的解
        • 求矩阵 XA=BXA=B 的解时,可以先两边转置
      • 求逆公式:A1=A1AA^{-1}=|A|^{-1}A^*

余子式与代数余子式

  • 余子式:把元素 aija_{ij} 所在的第 ii 行和第 jj 列划去后,留下来的阶行列式叫做元素 aija_{ij} 的余子式,记作 MijM_{ij}

  • 代数余子式:Aij=(1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

  • 展开公式:行列式等于它的任一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和D=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in} (i = 1,2,\dots,n)

    • 错位公式:0=ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn(i=1,2,,n)0=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\dots+a_{in}A_{jn} (i = 1,2,\dots,n)
  • 伴随矩阵 AA^*:第 (i,j)(i,j) 元是 AijA_{ij}

    • AA=AIA^*A=|A|I

线性映射

  • 分解公式:α=a1ε1++anεn\boldsymbol{\alpha}=a_1\varepsilon_1+\dots+a_n\varepsilon_n,其中 εi\varepsilon_i 是基
  • 线性映射:WW 为一个空间,且 φ:WRn\varphi:W\rightarrow R^{n} 为一个映射,若:
    1. φ(α+β)=φ(α)+φ(β)\varphi(\alpha+\beta)=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)
    2. φ(kα)=kφ(α)\varphi(k \alpha)=k \varphi(\alpha)
      φ\varphiWWRnR^{n} 的一个线性映射
  • 线性映射的性质
    1. φ(0)=0\varphi(0)=0
    2. 若像无关,则原像也无关;若原像相关,则像相关

矩阵的相合与相似

多项式分解定理

  • 一元多项式主要结论 分解定理: 任一个 nn 次多项式 f(x)f(x)

    f(x)=xn+cn1xn1++c1x+c0f(x)=x^{\mathrm{n}}+c_{n-1} x^{\mathrm{n}-1}+\cdots+c_{1} x+c_{0}

    复数域必有分解式:f(x)=(xλ1)(xλ2)(xλn)f(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)\left(x-\lambda_{2}\right) \cdots\left(x-\lambda_{n}\right)
    λ1,λ2,λn\lambda_{1}, \lambda_{2} \cdots, \lambda_{n}f(x)f(x)nn 个根(含重复根)

    • 对比系数,可得韦达定理:

      λ1+λ2++λn=cn1\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=-c_{n-1}
      λ1λ2λn=(1)nc0\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}=(-1)^{n} c_{0}

特征值与特征向量

  • 定义: AAnn 阶方阵,若有数 λ1\lambda_{1} 和**非 0 **向量 XX 使 AX=λ1XAX=\lambda_{1}X,称 λ1\lambda_{1}AA 的特征值。 XX 称为 AA 的属于特征值 λ1\lambda_{1} 的特征向量

    • AA 的特征值 λ1\lambda_{1} 就是齐次方程组 (Aλ1I)X=0\left(A-\lambda_{1} I\right) X=0 有非 0 解的 λ1\lambda_{1} 值,即 AλI=0|A-\lambda I|=0的解
    • λIA|\lambda I-A|AA 的特征式;
      λIA=0|\lambda I-A|=0AA 的**特征方程 **;;
      λIA=0|\lambda I-A|=0 的根叫 AA 的特征值(特征根)
    • 特征向量线性无关
  • nn 阶阵 AA 的特征根与特向量求法:

    1. 解特征方程 AλI=0,|A-\lambda I|=\mathbf{0}, 求出 nn 个特征值 (含重根) ;
    2. 对每一根 λk,\lambda_{k},(AλkI)X=0\left(A-\lambda_{k} I\right) \mathrm{X}=0 的非 0 解 XXλkkk\lambda_{k} k_{k} 的特征向量
    • 特征向量数不超过其特征根的重复数
  • 特征根的性质

    • λ\lambdaAA 的特征值,则
      1. λ\lambdaATA^T 的特征值
      2. λ1\lambda^{-1}A1A^{-1} 的特征值
      3. f(λ)=a0+a1λ++amλmf(\lambda)=a_0+a_1\lambda+\dots+a_m\lambda^mf(A)=a0+a1A++amAmf(A)=a_0+a_1A+\dots+a_mA^m 的特征值
  • 迹:tr(A)=a11+a22++ann\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{n n}

    • 由韦达定理可得
      1. λ1+λ2++λn=a11+a22++ann=tr(A)\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}=\operatorname{tr}(A)
      2. λ1λ2λn=A\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}=|A|
        • AA 可逆,则 AA 的特征值都不为 0
  • 相似:定义 设 ABA 、 Bnn 阶方阵,如果存在可逆阵 PP, 使得

    P1AP=BP^{-1} A P=B

    则称 AABB 相似, 记为 ABA \sim B

    • 矩阵的相似是等价关系

    • 相似矩阵具有相同的特征多项式, 也有相同的特征值

      • 但是:有相同特征多项式的矩阵不一定相似
  • 相似对角化

    1. 属于不同特征根的特征向量线性无关
    2. 同一特征根的特征向量的非 0 线性组合仍是该特征根的特征向量
    3. 如果 ABA\sim B,则 AABB特征式相同
    4. AA 可对角化的充分必要条件是**AA 有 n 个无关特征向量**
    5. AA 有 n 个互异的特征根, 则 AA 与对角阵相似
    6. 一个矩阵 AA 相似于对角阵的充要条件是 AA任一特征根的次数与几何重数相等
    7. P1AP=BP^{-1}AP=B,其中 BB 是对角阵,那么 P={ξ1,,ξn}P=\left\{\xi_1,\dots,\xi_n\right\}ξi\xi_i 是特征向量

内积

  • 内积:设实的列向量 α=(a1,a2,,an)T\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T},β=(b1,b2,,bn)T\beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}。令(α,β)=αβ=a1b1+a2b2++anbn(\alpha, \beta)=\alpha \cdot \beta = a_{1}b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}
    (α,β)(\alpha, \beta) 叫做α,β\alpha, \beta 的内积或点积

    • 分配律:(α+β)c=αc+βc(\alpha+\beta)\cdot \vec{c}=\alpha \cdot \vec{c}+\beta \cdot \vec{c}
    • (α,β)=0(\alpha,\beta)=0,称 α\alphaβ\beta 正交,记作 αβ\alpha \perp \beta
  • 正交向量组:定义 设 α1,a2,,αs\alpha_{1}, a_{2}, \ldots, \alpha_{s} 是一组非 0 向量。若其中任两个向量都是正交的,则称其为一个正交向量组或正交组

    • 标准正交组:若正交向量组中每个向量都是单位向量, 则称其为标准正交组
  • 欧氏空间:定义了内积的实向量空间

    • (α,β)=αTβ(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta

度量矩阵

  • 度量矩阵:设 VV 一个 n 维欧几里得空间,在 VV 中取一组基 ε1,ε2,,εn,\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{n},VV 中任意两个向量 α=x1ε1+x2ε2++xnεn\alpha=x_{1} \varepsilon_{1}+x_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+x_{n} \varepsilon_{n}β=y1ε1+y2ε2++ynεn\beta=y_{1} \varepsilon_{1}+y_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+y_{n} \varepsilon_{n} 。 由内积的性质得(α,β)=(x1ε1+x2ε2++xnεn,y1ε1+y2ε2++ynεn)=i=1nj=1n(εi,εj)xiyj.(\alpha, \beta)=\left(x_{1} \varepsilon_{1}+x_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+x_{n} \varepsilon_{n}, y_{1} \varepsilon_{1}+y_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+y_{n} \varepsilon_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right) x_{i} y_{j} .
    aij=(εi,εj)(i,j=1,2,,n),a_{i j}=\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)(i, j=1,2, \ldots, n), 显然 aij=ajia_{i j}=a_{j i}。于是 (α,β)=i=1nj=1naijxiyj.(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j} .
    X=(x1x2xn)Y=(y1y2yn)X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) Y=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right)分别是 α,β\alpha, \beta 的坐标,而矩阵 A=(aij)nnA=\left(a_{i j}\right)_{n n } 称为基 ε1,ε2,,εn\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{n} 的度量矩阵(格拉母阵),因而度量矩阵完全确定了内积,即(α,β)=XTAY(\alpha, \beta)=X^{T} A Y
    • 因为 (α,α)>0(\alpha,\alpha)>0,所以度量矩阵 AA 是正定矩阵
    • 不同基底下的度量矩阵是合同的
  • 最简单的度量矩阵:标准正交基
  • 许米特正交化方法:将一组基标准正交化
    • βm=αmαm,β1β1,β1β1αm,β2β2,β2β2αm,βm1βm1,βm1βm1\beta_{m}=\alpha_{m}-\frac{\left\langle\alpha_{m}, \beta_{1}\right\rangle}{\left\langle\beta_{1}, \beta_{1}\right\rangle} \beta_{1}-\frac{\left\langle\alpha_{m}, \beta_{2}\right\rangle}{\left\langle\beta_{2}, \beta_{2}\right\rangle} \beta_{2}-\cdots--\frac{\left\langle\alpha_{m}, \beta_{m-1}\right\rangle}{\left\langle\beta_{m-1}, \beta_{m-1}\right\rangle} \beta_{m-1}
  • 用正交阵把实对称阵 AA 相似对角化方法如下:
    1. 写出A的特征多项式λIA,|\lambda I-A|, 并 求出所有特征根 (均为实数) ;
    2. 对每个特征根,求出其全部无关特征向量;
    3. 对属于同一个特征值 λ\lambda 的线性无关特征向量,用正交化方法化为标准正交组
    4. 用所得到的标准正交特征向幅作为列组成矩阵 QQ, 则 Q1AQ=QTAQQ^{-1} A Q=Q^{\mathrm{T}} A Q 是对角形, 且对角元为 AA 的全部特征值.

二次型

  • 二次型:设 ff 是数域 KK 上的 nn 元二次多项式:f(x1,x2,,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3++2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3++2a2nx2xn++annxn2f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{11} x_{1}^{2}+2 a_{12} x_{1} x_{2}+2 a_{13} x_{1} x_{3}+\cdots+2 a_{1 n} x_{1} x_{n}+a_{22} x_{2}^{2}+2 a_{23} x_{2} x_{3}+\cdots+2 a_{2 n} x_{2} x_{n}+\cdots+a_{n n} x_{n}^{2}
    ff 称为数域 KK 上的 nn 元二次型,简称二次型
    • aija_{i j} 是复数时, 称为复二次型;当 aija_{i j} 是实数时, 称为实二次型
    • 表示方法
      1. 函数式
      2. 矩阵:XTAXX^TAX,其中 AA 是对称矩阵
        • AA 叫做二次型 ff 的矩阵;ff 叫做对称矩阵 AA 的二次型;对称矩阵 AA 的秩叫做二次型 ff 的秩
        • KK 上的二次型 ff 和对称矩阵 AA 一一对应
  • 化二次型为标准形:使二次型 ff 经可逆变换 x=Cyx = Cy 变成标准形,即让 CTACC^TAC 变成对角矩阵
  • 合同:设 AA,BB 为 n 阶方阵,若有可逆阵 CC,使 B=CTACB=C^{T} A C,则称 AABB 合同
    • 合同关系是一种等价关系
  • 化二次型为平方项等价于对对称阵 AA 寻找可逆阵 CC,使 CTACC^TAC 为对角阵,即寻找合同关系下的标准形

正定二次型

  • 规范形定理
    实二次型 f(x1,x2,,xn)f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) 经过可逆变换可化为 规范形:

    f=y12+y22++yp2yp+12yr2f=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{p}^{2}-y_{p+1}^{2}-\cdots-y_{r}^{2}

  • 正定二次型:设实二次型 f(x)=xTAxf(x)=x^{\mathrm{T}} A xRnR^{n} 中任何非0向量 xx,必有 f(x)>0f(x)>0,则称它为正定二次型,称 AA 为正定阵,记为:A>0A>0

  • 负定二次型:若对 RnR^{n} 中任何非0向量 xx,有 f(x)<0f(x)<0,则称之为负定二次型,称 AA