近世代数大纲

本文最后更新于:2021年3月22日 下午

学习近世代数时提炼的大纲,这个在考期整理花费了很多时间,不过考得还不错

近世代数大纲

群的定义

  • 二元运算:设AA是一个非空集合,AA上的一个二元运算记为abab,称为aabb的乘积

  • 群:设GG是一个非空集合,且GG上有一个乘法“\cdot”,如果满足乘法封闭,结合律,有幺元,有逆元,则称GG关于\cdot构成一个群,记为(G,)(G,\cdot)

    • 交换群(AbelAbel群):对于a,bG\forall a,b\in G,满足ab=baab=ba
    • 群阶:GG中所含元素的个数,记为G|G|
      • 有限群,无限群
  • 群元素:由于群元素有结合律,所以可以类比数的运算,定义群的方幂。

    • 群元素的阶:GG是群,aGa\in G,满足an=ea^{n}=e的最小整数nn,并记为o(a)o(a)。若nn不存在,则记o(a)=0o(a)=0。【可以替代数论中δm(a)\delta_{m}(a)
      • 有限群元素的阶必有限;无限群元素的阶可能有限,有可能无限。
  • 消去律:群GG具有左右消去律

    • 有限群的两种定义:
      • 第一定义:乘法封闭|结合律|有幺元|有逆元
      • 第二定义:乘法封闭|结合律|左右消去律

子群

  • 子群:GG是一个群,HHGG的一个非空子集,若HH关于GG的乘法也构成一个群,则称HHGG的一个子群,记作HGH\leq G。当HGH \neq G,称HH为真子群。

    • 所以e,G{e},G总是GG的子群,称为平凡子群
  • 定理(等价):

  1. HHGG的子群
  2. a,bH\forall a,b\in H,有abH,b1Hab\in H,b^{-1}\in H
  3. a,bH,\forall a,b\in H,,有ab1Hab^{-1}\in H(需要验证的工作最少,最常用)
  • 判定方法:1. 运用定理 2. 列出乘法表

四元数群(HamiltonHamilton群)

I,A=(i00i),B=(0110),C=(0ii0)I,A=\begin{pmatrix}i & 0\\\\ 0 & -i\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}0 & i\\\\ i & 0\end{pmatrix}

H={±I,±A,±B,±C}H=\lbrace \pm I,\pm A,\pm B,\pm C \rbrace

性质:四元数的乘法不符合交换律,四元数群是非交换群


群的变换与置换

  • 群的乘法表:可以判断交换律是否成立

变换

  • 一一映射/双射:既满射又是单射

    一个从A到A的映射叫做A的一个变换

(为了定义“所有的变换”的集合SS构成的群)

定义新的运算:对于α,βS\forall \alpha,\beta \in S,定义 αβ(x)=α(β(x))\alpha\cdot\beta(x)=\alpha(\beta(x))

  • 置换:XX为有限集合,从XXXX的一一变换叫做置换。XX上全体双射变换集合记为T(X)T(X)

  • T(X)T(X)中可以引入刚才定义的运算,对于α,βT(X)\forall \alpha,\beta\in T(X),定义αβ\alpha\circ\beta 为变换α\alphaβ\beta的复合。(不一定满足交换)

  • 变换群:在上述定义的\circ下,T(X)T(X)构成的群。
    对应:单位元——恒等变换 逆元——逆变换

  • 置换群:XX为有限集合,T(X)T(X)构成的变换群。若X=n|X|=n,则T(X)T(X)称为n元对称群。记为SnS_{n}

    • n元对称群的大小:n!n!

    • 表示记号:(12i1i2i)\begin{pmatrix}1 & 2&\cdots \\\\i_{1} &i_{2} & i_{\cdots}\end{pmatrix}

    • S3S_{3}是一个最小的有限非交换群,6阶

    • 循环置换(轮换):(i1i2ir)(i_{1}i_{2}\cdots i_{r})轮换,其他元素不动。

      • 性质:
        1. 轮换σ,τ\sigma,\tau不相交(没有公共元素),则 τσ=στ\tau\sigma=\sigma\tau
        2. SnS_{n}中任一置换均可以唯一的写成不相交的轮换的乘积。
    • 对换:只含有两个元素的置换。

群的同态和同构

  • 同态映射:设G1,G2G_{1},G_{2}是两个群(或者只是集合上有运算),若存在f:G1G2f:G_{1}\rightarrow G_{2},对于a,bG1\forall a,b \in G_{1},有f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)成立,则ff称为同态映射。称G1G_{1}G2G_{2}中的像为G1G_{1}的同态像。

  • 同态:若ff是满射,则G1G_{1}G2G_{2}同态,记为G1G2G_{1}\sim G_{2}

  • 同态的性质:

    1. G1G2G_{1}\sim G_{2}G1G_{1}是群,则G2G_{2}也是一个群。(G2G1G_{2}\sim G_{1}不一定,可见同态是有方向的)

    2. G1G2G_{1}\sim G_{2}G1G_{1}的单位元/a1a^{-1}的像是G2G_{2}中对应的单位元和aa的像的逆元。

  • 同构:若ff是双射,则G1G_{1}G2G_{2}同构,记为G1G2G_{1}\simeq G_{2}
    含义:在某种意义ff下,这两个群是相同的东西。

  • 凯莱定理(CayleyCayley定理):每一个群都和某一个变换群同构。
    含义:每一个抽象的群都可以看成是一个具体的群。
    故:任一有限群都同构于一个置换群。


循环群

  • 定义:由一个群生成的群a={akkZ}\left \langle a\right \rangle=\left\{a^{k}|k\in Z\right\}aa被称为GG的一个生成元。

  • 整数加群:整数加群ZZ的子群都是由某一非负整数mm生成的循环群,对于m,n0m,n\geq0nZmZnZ\subset mZ,当且仅当mnm|n(注意次序)

  • 定理:

    G=aG=\left \langle a\right \rangle

    1. o(a)=mo(a)=m时,G={a0,,am1}G=\left\{a^{0},\cdots,a^{m-1}\right\}——同构于模m的剩余类加群
    2. o(a)=o(a)=\infty时,G={,a1,e,a1,}G=\left\{\cdots,a^{-1},e,a^{1},\cdots\right\}——同构于整数加群
  • 循环群的子群还是循环群(证明方法利用k=dp+rk=dp+r

  • 阶数公式:o(a)=no(a)=no(ar)=n(r,n)o(a^{r})=\frac{n}{(r,n)}

    • 可以利用阶数公式证明:设GG为n阶循环群,mm是一个正整数,而且mnm|n,则存在唯一一个GG的m阶循环子群
  • 生成元 :G=a,G=nG=\left \langle a\right \rangle,|G|=n,则全部生成元为{ak(k,n)=1}\left\{a^{k}|(k,n)=1\right\},共φ(n)\varphi(n)个。

​ (生成元的阶一定是n

  • 有限循环群的判定条件:GG为有限交换群,对于所有正整数mm,在GG总满足方程xm=ex^{m}=e的元素个数不超过mm

例题:证明GG为一有限交换群时,必然GG中存在一个元素,它的阶为G中所有元素阶的倍数。


子群的陪集分解

  • 等价关系\sim:自反性,对称性,传递性

    集合的划分:将一个集合分割为若干个不相交的子集合

    等价关系必有对应划分,划分必有其对应等价关系

  • 等价类:由等价关系确定的等价类,记为[a][a]aa为代表元

  • RHR_{H}aba\sim b当且仅当b1aHb^{-1}a\in H

    左陪集:HHGG的子群,aGa\in G,则集合aH={abbH}aH=\left\{ab|b\in H\right\}称为aa关于HH的一个左陪集

    RHR_{H}下,[a]=aH[a]=aH

    • 定理:
    1. GGHHGG中所有左陪集的并。
    2. HHGG中的两个左陪集相等或者不相交
    3. a,bG,aH=bH\forall a,b \in G,aH=bH当且仅当aba\sim b

    相似的,可以定义RHR_{H}'当且仅当ab1Hab^{-1}\in H以及右陪集。由于一个群的乘法不一定满足交换律,故两个相等关系不一定相同。

    • 性质:一个子群的左右陪集个数相等。
  • 指数:GG关于HH左陪集的个数,记作[G:H][G:H]

    • 对于有限群[G:H]=GH[G:H]=\frac{|G|}{|H|}
      - 拉格朗日定理:
      1. 一个有限群的子群的阶整除该群的阶
      2. GG为有限群,则GG中每个元素的阶都是GG的因子

    • 指数公式:HKGH\leq K\leq G,则[G:K][K:H]=[G:H][G:K][K:H]=[G:H]


正规子群 群同态

  • 左陪集构成的集合:G/H={aHaG}G/H=\left\{aH|a\in G\right\}

    引入运算:aHbH=abHaH\cdot bH=abH。为了使运算成立,则满足aG,aH=Ha\forall a\in G,aH=Ha

正规子群

  • 定义:aG,aH=Ha\forall a\in G,aH=Ha,称HHGG的正规子群。
    ※:aH=HaaH=Ha是两个集合的相等
    等价定义:

    1. 任意两个左(右)陪集之积还是一左(右)陪集
    2. aG,aHa1=H\forall a\in G,aHa^{-1}=H
  • 性质:交换群都是正规子群。

  • 四种等价(其实还是对定义的进一步理解):

    1. NNGG的正规子群
    2. aG,nN\forall a\in G,n\in N,有a1naNa^{-1}na\in N
    3. aG\forall a\in G,有a1NaNa^{-1}Na\subseteq N
    4. aG,a1Na=N\forall a\in G,a^{-1}Na=N
  • 商群:在G/NG/N上定义运算aHbH=abHaH\cdot bH=abH构成的群

同态的核

  • 定义:对于同态σ:GG\sigma:G\rightarrow G'单位元的完全反像σ1e\sigma^{-1}(e')称为同态σ\sigma的核。同态σ\sigma的核记为ker(σ)ker(\sigma)

  • 性质:同态的核是群GG的正规子群,每一个正规子群都是某一个同态的核。

  • 群同态定理:设σ:GG\sigma:G\rightarrow G'是一个满同态,NNσ\sigma的核,则G/NG/NGG'同构。

    ※:自然同态(f:f(a)=aNf:f(a)=aN



环 子环 多项式环

环的定义

  • 加群:一个交换群,只不过我们称它的代数运算叫做加法++
    单位元:00 复元:a-a 有数乘律

  • 环:在集合RR上定义++\bullet两种运算,若RR满足下列条件:

    1. RR++是加群
    2. RR\bullet是封闭
    3. RR\bullet具有结合律
    4. 满足左右分配律
      则称RR关于加法和乘法构成一个环,记作(R,+,)(R,+,\bullet)
  • 特殊的环:

    • RR的乘法满足交换律,称为交换环

    • RR的乘法有幺元,称为有单位元的环

    ※:此时在环中有逆元的元素称为可逆元。

    • a,bR,a0,b0,ab=0\exists a,b\in R,a\neq0,b\neq0,ab=0,称RR为有零因子环。aa为左零因子,bb为右零因子。反之称为无零因子环。
      • 环的消去律成立,则环无零因子

        • 无零因子环的非零元的加法阶都相等——\infty或一素数
      • 整环:有单位元的无零因子交换环。
        eg:nn为合数,ZnZ_{n}不是整环;nn为素数,ZnZ_{n}是整环。

    • 除环:RR为由单位元的环,且每个非零元均为可逆元。(此时就能够左右除了)
      • 除环中所有非零元素构成的集合在乘法下构成一个群
      • 除环是无零因子环
    • 域:交换的除环。
      eg:数域(有理数/实数/复数)
  • 特征:无零因子环RR的加法群的非零元的阶CharR={0RRCharR=\left\{\begin{matrix} 0&&加法阶为\infty\\ R&&加法阶为素数R\end{matrix}\right.

子环

  • 子环/子除环/子整环/子域:环/除环/整环/域的子集,若子集保持父集的运算

  • 子环的判定:SS是环RR的非空子集,则SSRR的子环的除非必要条件为:a,bS,abS,abS\forall a,b\in S,a-b\in S,ab\in S

  • 子除环的判定:SS是环RR的非空子集,则SSRR的子环的除非必要条件为:

    1. SS包含一个不等于零的元
    2. a,bS\forall a,b\in S
    3. a,bS,b0,ab1S\forall a,b\in S,b\neq0,ab^{-1}\in S

环同态

  • 环同态映射:设R,RR,R'是两个环,若存在f:RRf:R\rightarrow R',对于a,bR\forall a,b \in R,有f(ab)=f(a)f(b),f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b),f(a+b)=f(a)+f(b)成立,则ff称为环同态映射。

  • 环同构:当ff为双射时称为同构。

  • 环同态的性质:

    1. 零元映射到零元,负元映射到负元。
    2. 零因子不一定是同态像的零因子

理想

  • 定义:设(R,+,)(R,+,\cdot)是环,IIRR的一个子环,如果对aIrR\forall a\in I,r\in R,均有raI,arIra\in I,ar\in I,则称IIRR的一个理想。

  • 平凡理想:0{0}RR
    ※:除环只有两个平凡理想

  • 主理想:由RR中一个元素aa生成的理想称为主理想,记为(a)(a),则(a)={xiayi+sa+at+naxi,yi,s,tR,nZ}(a)=\left\{\sum x_{i}ay_{i}+sa+at+na|x_{i},y_{i},s,t\in R,n\in Z\right\}\sum是有限和)

    • RR是交换环时,(a)={sa+ats,tR}(a)=\left\{sa+at|s,t\in R\right\}

    • RR是有单位元的环时,(a)={xiayixi,yiR}(a)=\left\{\sum x_{i}ay_{i}|x_{i},y_{i}\in R\right\}

    • RR是有单位元的交换环时,(a)={rarR}(a)=\left\{ra|r\in R\right\}

  • 定理:整数环ZZ中任一理想都是主理想。(仿照k=rq+rk=rq+r的证明)

  • 商环:在加法商群R/IR/I上定义乘法(x+I)+(y+I)=(x+y)+I,(x+I)(y+I)=(xy)+I(x+I)+(y+I)=(x+y)+I,(x+I)(y+I)=(xy)+I,则得到R/IR/I构成的环。

  • 环同态基本定理:设f:RRf:R\rightarrow R'是一个满同态,则ff的核是RR的理想,则G/Ker(f)G/Ker(f)GG'同构。

    ※:自然同态(f:f(a)=a+If:f(a)=a+I


多项式

  • p元伽罗瓦域:设素数pp,设Fp={0,1,,p1}F_{p}=\left\{0,1,\cdots,p-1\right\}为整数集,设f:Z/(p)Fpf:Z/(p)\rightarrow F_{p}定义为f([a])=af([a])=aa=0,1,,p1a=0,1,\cdots,p-1。则FpF_{p}ff的诱导下称为一个域,即p元伽罗瓦域。

  • F[x]F[x]中任一理想都是主理想,其形式为g(x)+(f(x))g(x)+(f(x)),其中g(x)g(x)的最高项次数不高于degf(x)degf(x)

两种特殊的理想:

  • 素理想:设PP是环RR的一个理想,若a,bR\forall a,b\in R且abPab\in P,都有aPa\in P或者bPb\in P,则PP是素理想。
    eg:整数环中,素数pp生成的理想

  • 极大理想:一个环RR的一个不等于RR的理想II,除了RRII以外没有包含II的理想。

    eg:整数环中,素数pp生成的理想

    • 定理:有单位元的交换环必有极大理想。
    • 有单位元的交换环的极大理想必是素理想
  • 重要定理:设RR是有单位元的交换环,II是其理想

    1. II是素理想,则R/IR/I 是一个整环;
    2. II是极大理想,则R/IR/I 是一个域。(这样,我们就能够构造域了
      (充分必要)

多项式的性质

  • 可约多项式:设f(x)F[x]f(x)\in F[x]f(x)f(x)可以写成f(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)h(x)
  • 利用不可约多项式构造域:设F[x]F[x]是域FF上一个一元多项式环,f(x)F[x]f(x)\in F[x]是一个次数不大于零的不可约多项式,则(f(x))(f(x))F[x]F[x]的极大理想,从而F[x]/(f(x))F[x]/(f(x))是一个域。
  • 根:令多项式的值等于0的自变量取值。
    • 推论:
      1. f(x)F[x]f(x)\in F[x],则c是f(x)f(x)的根当且仅当(xc)f(x)(x-c)|f(x)
      2. c是f(x)f(x)rr重根,则c是f(x)f'(x)r1r-1重根。
      3. (f(x),f(x))=1(f(x),f'(x))=1,则f(x)f(x)没有重根。
      4. n次多项式f(x)F[x]f(x)\in F[x]不同根cFc\in F的个数最多为n。
      5. f(x),g(x)F[x]f(x),g(x)\in F[x],若有n+1n+1个元素cic_{i},使得f(c_{i})=g(c_{i}),则f(x)=g(x)f(x)=g(x)
      6. LagrangeLagrange插值公式:给出n+1n+1ai,bia_{i},b_{i},存在一个次数不超过n的多项式f(x)f(x)满足f(a1)=bif(a_{1})=b_{i}。此时f(x)=i=0nbik=0,kin(aiak)1(xak)f(x)=\sum^{n}_{i=0}b_{i}\prod^{n}_{k=0,k\neq i}(a_{i}-a{k})^{-1}(x-a_{k})
      7. f(x)Z[x]f(x)\in Z[x]f(x)f(x)可以写成f(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)h(x)g(x)h(x)Q[x]g(x),h(x)\in Q[x],则存在有理数rr,使得rg(x),1rh(x)Z[x]rg(x),\frac{1}{r}h(x)\in Z[x]
      8. EisensteinEisenstein判别法:设f(x)=a0++anxnZ[x]f(x)=a_{0}+\cdots+a_{n}x^{n}\in Z[x]pp为一个素数。若满足:
        • panp\nmid a_{n}
        • pai,i=0,1,,n1p|a_{i},i=0,1,\cdots,n-1
        • pnc0p^{n}\nmid c_{0}
          f(x)f(x)Z[x]Z[x]上不可约。(从而在Q[x]上也不可约)
  • 有限域上不可约多项式的判定方法:
    1. 定义
    2. 三次不可约多项式必然没有一次因式/四次不可约多项式必然没有一次因式和二次因式/六次不可约多项式必然没有一次因式、二次因式和三次因式

基于多项式的密钥共享

过程:tt个门限,nn个共享者。选取 t1t-1 次多项式f(x)f(x)xi(i=1,,n)x_{i}(i=1,\dots,n) 计算 f(xi)f(x_{i}),然后将 (xi,f(xi))(x_{i},f(x_{i})) 分发给共享者。任意 tt 个子密钥即可重构出主密钥。



素域 单扩张

  • 从环构造域:1. 找有单位元的交换环的极大理想 2. 给定环R,找一个除环/域包含R(每一个无零因子交换环都是一个域的子环)

  • 分式域(商域):一个域QQ叫做环RR的一个分式域,假如RQR\subset Q,并且QQ恰好由ab,(a,bR,b0)\frac{a}{b},(a,b\in R,b\neq 0)作成。

    (整环和分式域可以理解为整数与分数的关系)

    • 思考的过程:

      FF为任意一个域,DDFF的任一个包含单位元的子环,则DD一定是一个整环。

      而考虑整环的分式域,是因为环中不能作除法,需要扩充到域;任意一个域的子环必定交换,而且是无零因子的所以只有子环才能够嵌到域中。

    • 定理:

      1. DD是一个整环,则DD 的分式域是包含DD的最小的域。

      2. RRRR'都是无零因子交换环,QQQQ'是分别两者的分式域,则RRR\simeq R'时,QQQ\simeq Q'

        (所以同一个环的商域同构)

  • 扩张:如果FFEE的子域,则EE叫做FF的扩张。(任何一个域都是其子域的扩张)

    • 定理:设EE是一个域
      1. CharE=0CharE=0,则EE含有一个和有理数域QQ同构的子域。
      2. CharE=pCharE=p,则EE含有一个和有理数域Z/(p)Z/(p)同构的子域。
  • 素域:一个域不含真子域。

    • 如果一个域是素域,则其同构于QQ或者Z/(p)Z/(p)
    • 一个任意域都是一个素域的扩域(但是研究素域的扩域并不比研究一个任意域的扩域来的容易,所以此研究域的普遍方法是:设法决定一个任意域F的所有扩域E)
  • 添加集合SSFF所得到的扩张:设EEFF的扩张 ,SSEE的子集,用F(S)F(S)表示EE中包含FFSS的最小子域,并且称 F(S)F(S)为添加集合SSFF所得到的扩张。如果S={α1,α2,,ak}S=\left\{\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,a_{k}\right\}F(s)F(s)可以写成F(α1,α2,,ak)F(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,a_{k})

    • 定理:F(S1)(S2)=F(S2)(S1)=F(S1S2)F(S_{1})(S_{2})=F(S_{2})(S_{1})=F(S_{1}\cup S_{2})
    • 单扩张:只添加一个元素到域得到的扩域。
  • 超越元和代数元:FEF\subset E为域扩张,αE\alpha \in E,如果存在FF上不全为00的元素,a0,a1,,ana_{0},a_{1},\cdots,a_{n},使得a0+a1α++anαn=0a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}=0,则称α\alphaFF上的一个代数元,或称α\alphaFF上代数。否则称为FF上的超越元。

    • α\alpha为代数元,F(α)F(\alpha)称为FF的一个单代数扩域。
    • α\alpha为超越元,F(α)F(\alpha)称为FF的一个单超越扩域。
  • 单扩域的结构:

    • α\alpha为代数元,F(α)F[x]/(p(x))F(\alpha)\simeq F[x]/(p(x))。这里的p(x)p(x)F[x]F[x]上的一个唯一的确定的,最高系数为11的不可约多项式,且p(α)=0p(\alpha)=0
    • α\alpha为超越元,F(α)F[x]F(\alpha)\simeq F[x] 的分式域。这里的F[x]F[x]FF上的一个未定元的多项式环。
  • 极小多项式:F[x]F[x]中满足p(a)=0p(a)=0的次数最低的多项式p(x)=xn+an1xn1++a0p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}叫做元α\alphaFF上的极小多项式,nn叫做α\alphaFF上的次数。

    • 构造FF的单代数扩张,实际上就是找域FF上的不可约多项式。

单代数扩张

  • 代数扩域(扩张):一个域的扩域上的每一个元都是原域上的代数元。这个扩域就是代数扩域。

    • 假定EE是域FF的一个扩域,那么对于EE的加法和FxEFxEEE的乘法来说,EE作成FF上的一个向量空间
  • nn次扩张:若EEFF的扩张,则EEFF上的向量空间。如果EEFFnn维向量空间,则称EEFFnn次扩张,记为[E:F]=n[E:F]=nnn有限时,称为有限扩张,反之为无限扩张。

  • 扩张次数公式:若EEFF的有限扩张,若KKFF的有限扩张,则EE也是FF的有限扩张,且[E:F]=[E:K][K:F][E:F]=[E:K][K:F]。(可以依此公式扩展得到望远镜公式)

  • 定理:单代数扩张E=F(α)E=F(\alpha)FF的一个代数扩域。

    • F(α)F(\alpha)是域FF的一个单代数扩张,而α\alphaFF上的极小多项式的次数是nn,那么F(α)F(\alpha)FF的一个nn次扩域。
    • FF的有限扩域一定是FF的代数扩域。
    • 一个域上两个代数元的和差积商还是这个域上的代数元。

分裂域

  • 代数闭域:若一个域EE上的一元多项式环E[x]E[x]的每一个多项式在E[x]E[x]中都能分解为一次因式的乘积,则E不再有真正的代数扩域。这样的域称为代数闭域。

    (eg:复数域是代数闭域——代数基本定理)【可以想象成最大的代数扩域】

  • 分裂域:域FF的一个扩域EE叫做F[x]F[x]nn次多项式f(x)f(x)FF上的一个分裂域,假如

    1. E[x]E[x]f(x)f(x)可以分解成一次因式的乘积 f(x)=an(xα1)(xα2)(xαn)(αiF)f(x)=a_{n}(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{n})(\alpha_{i}\in F)

    2. 在一个小于EE的中间域I(FIE)I(F\subset I\subset E)里面,f(x)f(x)不能这样分解。

      由定义知,EE是一个使得f(x)f(x)能够分解为一次因式的 FF的最小扩域

      ※:分裂域和f(x)f(x)FF都有关。

  • 分裂域的存在性:域FF上任意nn次多项式都有分裂域。
    ※:即使f(x)f(x)和其所在的域FF都已经给定,但是f(x)f(x)FF上的分裂域并不唯一,它取决于逐步扩张的选择。但是,可以证明,无论以何种次序进行扩张,得到的分裂域都是同构的


有限域

  • 定理:一个有限域FF是它的素域的一个单扩域。

    • 推论:有限域的所有非零元在乘法之下构成循环群。这个生成元叫做有限域的本原元。
  • 有限域:只含有限个元素的域。

  • 三大结构定理:

    1. 特征为pp的有限域的元素个数一定是pnp^{n}形式,这里nn是这个域在它素域上的次数。
    2. pp是任一素数,nn是任一正整数,则总存在一个恰好含有pnp^{n}个元素的有限域。
    3. 令有限域EE的特征是ppEE所含素域是FF,而EEq=pnq=p^{n}个元素,则EE是多项式xqxx^{q}-xFF上的分裂域。任何两个这样的域都同构。
  • 有限域的子域:设q=pnq=p^{n}pp是素数。

    FqF_{q}的每个子域是pmp^{m}个元素的有限域,其中mnm|n。反之,若mnm|n,则FqF_{q}包含一个pmp^{m}元子域。


分圆域

  • KK是一个域,nn是一个正整数。

    1. 多项式xn1x^{n}-1KK上的分裂域称为KK上的nn次分圆域。记为K(n)K^{(n)}
    2. xn1x^{n}-1K(n)K^{(n)}上的根称为KK上的nn次单位根,nn次单位根全体记为E(n)E^{(n)}
  • 定理:设KK是一个特征为pp的有限域,nn是一个正整数,则有:

    1. pnp\nmid n ,则E(n)E^{(n)}关于K(n)K^{(n)}的乘法构成一个nn阶循环群。
    2. pnp\mid n ,设n=mpen=mp^{e}pmp\nmid m,则K(n)=K(m),E(n)=E(m)K^{(n)}=K^{(m)},E^{(n)}=E^{(m)}
  • nn次本原单位根:设KK是一个特征为pp的有限域,nn是一个正整数,pnp\nmid n ,则E(n)E^{(n)}的生成元称为KK上的nn次本原单位根。

    ※:nn次本原单位根有φ(n)\varphi(n)

  • 分圆多项式:设KK是一个特征为pp的有限域,nn是一个正整数,pnp\nmid nζ\zetaKK上一个nn次本原单位根,令Qn(x)=(s,n)=1(xζs)Q_{n}(x)=\prod_{(s,n)=1}(x-\zeta^{s})Qn(x)Q_{n}(x)称为KK上的nn次分圆多项式。

    ※:degQn(x)=φ(n)degQ_{n}(x)=\varphi(n)

  • 性质:设KK是一个特征为pp的有限域,nn是一个正整数,pnp\nmid n ,则

    1. xn1=dnQd(x)x^{n}-1=\prod_{d|n} Q_{d}(x)(可以用来求分圆多项式)
    2. Qn(x)Q_{n}(x)的系数属于KK的素域ZpZ_{p}

    此外,若ddqqnn的乘法阶,则:

    1. [K(n):K]=d[K^{(n)}:K]=d
    2. Qn(x)Q_{n}(x)KK上分解为φ(n)d\frac{\varphi(n)}{d}个不同的首项系数为1的dd次不可约多项式的乘积。
  • 有限域中元素的表示方法

    1. 多项式表示法

      q=pnq=p^{n},则FqF_{q}FpF_{p}nn次扩张,所以只要找到一个nn次既约多项式f(x)f(x),就有Fq=Fp[x]/(f(x))F_{q}=F_{p}[x]/(f(x))。如果α\alphaf(x)f(x)Fp[x]/(f(x))F_{p}[x]/(f(x))的一个解。

      F(α)={a0+a1α++an1αn1aiFq}F(\alpha)=\left\{a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1}|a_{i}\in F_{q}\right\}

    2. 本原元表示法

      FqF_{q} 的一个本原元是ζ\zeta,则Fq={0,ζ,ζ2,ζq1}F_{q}=\left\{0,\zeta,\zeta^{2},\cdots\zeta^{q-1}\right\}

      这样容易计算乘法,但是不好算加法

    3. 伴随矩阵表示法


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